Приклад. Довести, що формула (¬А ¬В) ((¬А В) А) виведена в системі S2.
1.(¬А В) (¬А ¬В) ¬ ¬А) підстановка в аксіому 9 ¬А замість А.
2.(¬А В), (¬А ¬В) |— ¬ ¬А теорема 3, крок 1.
3.¬ ¬А |— А
аксіома 10.
4.(¬А В), (¬A ¬В) |— А теорема 4, крок 2, 3.
5.(¬A ¬В) |— (¬А В) А теорема 3, крок 4.
6.|— (¬А ¬В) ((¬А В) А) теорема 3, крок 5.
Доведення проведено.
Всі теореми обчислення висловлень зв'язані з розв'язком такої задачі: «чи випливає це твердження з деякої сукупності інших тверджень?» Тобто, доводиться тотожна істинність формули виду А В, що можна здійснити кількома методами.
Пряме доведення
Тавтологічність імплікації A → B можна довести, переконавшись, що коли припущення імплікації A істинне, то й висновок B також істинний.
Замість прямого логічного висновку формули В з формули А часто виявляється зручним довести суперечність формули А ¬В, тим самим довівши істинність формули А В. В формулі А ¬В присутнє заперечення наслідку ¬B, тому такий метод доведення називається доведенням від
супротивного.
Дві схеми доведення методом від супротивного
1. (А ¬В) (С ¬С) = А В
якщо з припущення, що А — правильно, а В — неправильно, виходять два суперечних один одному висловлень, то це означає, що з А виходить В.
2. ¬В ¬А = А В
якщо з припущення, що В — неправильно, виходить, що А неправильно, то це означає, що з А виходить В. Таким чином, довівши істинність лівої частини однієї з наведених схем, доводять істинність висловлення А В.
Доведення аналізом випадків
Іноді для доведення тавтологічності імплікації A→B зручно використати замість A диз'юнкцію (A1 A2 … An) як припущення імплікації, якщо A та
(A1 A2 ... An)еквівалентні.
На основі логічної еквівалентності
(A1 A2 ... An) →B = (A1→B) (A2→B) ... (An→B)
доведення тавтологічності імплікації
(A1 A2 ... An) → B
можна замінити доведенням тавтологічності кожної з п імплікацій Ai→ B, і = 1, 2, ..., п окремо.