6.3.Обчислення висловлень

аксіоми і правила висновку

повнота та несуперечність

правила відділення і підстановки

теорема дедукції та її наслідок

доведення методом від супротивного

Для логічного аналізу необхідно створити сукупність правил визначення істинності або хибності висловлень.

Довести те, що деяка формула логіки висловлень є тавтологією, можна, використовуючи:

таблицю істинності,

еквівалентні перетворення формули,

за допомогою дедуктивного висновку.

На базі логіки висловлень створено формальну систему обчислення висловлень, яка дозволяє за допомогою правил дедуктивного висновку перевірити, чи є задана формула загальнозначущою, а також одержати загальнозначущі формули логіки висловлень.

Обчислення висловлень містить мову, систему аксіом і правила висновку.

Мова обчислення висловлень складається з правильно побудованих формул логіки висловлень.

Аксіомами обчислення висловлень є деяка множина загальнозначущих формул логіки висловлень.

Правила висновку дозволяють одержувати нові формули, які є істинними за умови істинності всіх засновків, що входять до правила.

Системи аксіом обчислення висловлень підбираються таким чином, щоб обчислення мало властивість

повноти.

Повнота обчислення висловлень полягає в тому, що в даній системі є достатня кількість аксіом для того, щоб вивести будь-яку формулу логіки висловлень, яка є тотожно істинною.

Крім того, обчислення висловлень має властивість несуперечності. Не існує формули А такої, що формули А і ¬А є теоремами цього обчислення.

Якщо жодну з аксіом системи обчислення висловлень не можна вивести з решти, застосовуючи правила висновку даної системи, то говорять, що система аксіом незалежна. Аксіоми обчислення висловлень підбираються таким чином, щоб вони були незалежні.

Крім правила відділення (Modus Ponens), у обчисленні висловлень часто використовується так зване правило підстановки.

Правило підстановки

Нехай F1 і F2 — формули логіки висловлень, А — атомарна формула. Якщо F1(A) — формула, виведена в обчисленні висловлень, що містить атом А, то F1(В) —

виведена формула, одержана заміною всіх входжень А у формулі F1 на формулу F2.

F1 ( A F2 )

F1 (B)

Правило підстановки виражає той факт, що якщо у тотожно істинній формулі всі входження будь-якого атома замінити на деяку формулу, то одержаний вираз залишиться тотожно істинним.

Приклад. Використовуючи правило підстановки і комутативний закон для диз'юнкції, довести загальнозначущість такої формули:

A B C ~ B C A.

Розв'язок. Запишемо тотожність, що відповідає комутативному закону для диз'юнкції:

A D ~ D А.

Визначимо підстановку — атомарну формулу D замінимо на (ВС):A (B С) ~ (В С) А.

Опустивши дужки, переконуємося в істинності вихідної формули.

Часто правило підстановки не згадують, а використовують його як очевидний факт, правильний для тотожностей. У цьому випадку аксіоми обчислення висловлень називають схемами аксіом, підкреслюючи те, що кожний атомарний символ у них може бути замінений на деяку формулу.

Система S1

I. Мова складається з правильно побудованих формул логіки висловлень, що містять операції {¬, }. Алфавіт мови співпадає з алфавітом логіки висловлень і містить, крім символів перелічених логічних операцій, символи дужок і символи для позначення висловлень.

II.Аксіоми:

1.А (В А);

2.(А (В С)) ((А В) (А С));

3.(¬В ¬A) ((¬В А) В).

III.Правила висновку:

1.Правило відділення (Modus Ponens);

2.Правило підстановки.

Система S2

I. Мова складається з правильно побудованих формул логіки висловлень, що містять операції { , , ¬, }. Алфавіт мови співпадає з алфавітом логіки висловлень і містить, крім символів логічних операцій, дужоки і символи для позначення висловлень.

II.Аксіоми:

1.А (В А);

2.(А В) ((А (В С)) (А С));

3.(А В) А;

4.(А В) В;

5.А (В (А В));

6.А (A В);

7.В (A В);

8.(А С) ((В С) ((A В) С));

9.(А В) ((А ¬В) ¬А);

10.¬¬А А.

III.Правила висновку:

1.Правило відділення (Modus Ponens);

2.Правило підстановки.

Приклад. Довести вивідність формули А А в системі S1.

Процедуру доведення проведемо покроково:

1.(А ((А А) А)) ((А (А А)) (А А)) підстановка в аксіому 2 (А А) замість В, А замість С.

2.А ((А А) А)

підстановка в аксіому 1 (А А) замість В.

3.(А (А А)) (А А) за правилом 1, кроки 1, 2.

4.А (А А)

підстановка в аксіому 1 А замість В.

5. А А за правилом 1, кроки 3, 4.

Доведення проведено.

Часто у математичних міркуваннях істинність твердження В доводять за припущенням істинності твердження А, після чого приходять до висновку, що правильне твердження «якщо А, то В». Такий прийом доведення є правильним і сформульований у теоремі дедукції. Для скорочення записів введемо символ |— тавтології.

Теорема дедукції

Якщо А1, ..., Ап, С|— В, то А1, ..., Ап, |— С В. Зокрема, якщо А|— В, то |— А В.

Наслідок з теореми дедукції

Із засновків А В, В С виводимо А С: А В, В С |— А С.