Найважливішою характеристикою логічного висновку є відношення сумісності між його засновком та висновком. У логіці правила висновку використовуються, щоб виводити одні істинні речення з інших істинних речень.

Висловлення В є логічним наслідком висловлення А, якщо формула А В є тотожно істинною. Це визначення може бути узагальнено на випадок довільного числа засновків таким чином: висловлення В називається логічним наслідком

висловлень А1, А2, ..., Ап, якщо А1 А2 ... Ап В —

тотожно істинна формула.

Приклад. Показати, що висловлення (А В) ¬С є логічним наслідком висловлення А ¬С.

Розв'язок. Достатньо впевнитися, що формула (А ¬С) ((А В) ¬С) є загальнозначущою. Використаємо тотожності логіки висловлень для еквівалентних перетворень, враховуючи, що

х y = f13(x, y) = x y .

(А ¬С) ((А В) ¬С) =

=¬ (А ¬С) ((А В) ¬С) =

=¬A C (A B) ¬C =

=¬A (A B) ¬C C =

=¬A (А В) I = І.

Дедуктивним висновком називається висновок формули В

зформули А, заснований на тому, що В є логічним наслідком

А.

Твердження 1. Висловлення В є логічним наслідком висловлення А, якщо висловлення А ¬В є тотожно хибним.

Твердження 2. Висловлення В є логічним наслідком висловлення А, якщо на всіх інтерпретаціях, на яких А істинне, В теж істинне.

Тотожна істинність або хибність засновку імплікації дозволяє зробити висновок про істинність або хибність наслідку.

Твердження 3. Якщо висловлення В є логічним наслідком висловлення А і висловлення А — тотожно істинне висловлення, висловлення В також є тотожно істинним.

Твердження 4. Якщо висловлення А є тотожно хибним, то для будь-якого висловлення В правильно, що А В.

При створенні математичної логіки переслідувалася ціль побудови формальної мови для математичних міркувань і доведень. У математиці і «чистій» логіці доводять теореми, тобто виводять наслідки з певних припущень.

Припущення називаються аксіомами або гіпотезами, при цьому передбачається, що вони тотожно істинні у всій розглянутій теорії.

Доведення являє собою логічний висновок списку висловлень.

Додавання висловлення у список доведення можливе, якщо дане висловлення є наслідком висловлень, внесених до цього списку раніше, або якщо воно є аксіомою чи гіпотезою.

Теорема вважається доведеною, якщо твердження теореми записане у список доведення, тобто якщо встановлено, що твердження теореми є логічним наслідком введених аксіом.

Правила для дедуктивного висновку будуються на підставі загальнозначущих формул логіки висловлень виду А В. Ці правила часто записують як правила формального висновку у такому вигляді:

A1 ,..., An

B

Тут А1, ..., Ап — засновки, а В — наслідок. Тавтологія, що відповідає такому правилу:

А1 А2 ... Аn В.

З усіх правил найбільш часто використовується правило відділення.

Правило відділення має такий логічний сенс: якщо засновок правильний, то правильний і наслідок з нього.

Наведемо приклади міркувань за допомогою правила відділення:

«Якщо студент не вивчив теорію, то він не виконає завдання. Студент не вивчив теорію. Отже, студент не виконає завдання».

«Якщо студент одержав п'ять, значить, він розв'язав задачу. Студент одержав п'ять. Отже, студент розв'язав задачу».

Приклад. Дано істинне висловлення

«Якщо п ділиться на 9, то п ділиться на 3». Нехай також відомо, що «п ділиться на 9».

Який висновок можна зробити, виходячи з цих двох висловлень?

Розв'язок. Введемо атомарні висловлення: А — « п ділиться на 9 »;

В — « n ділиться на 3».

Висловлення

«Якщо n ділиться на 9, то n ділиться на 3» можна зобразити у вигляді формули А В.

З одночасного виконання засновків А В і А можемо

зробити висновок В за правилом відділення: «п ділиться на 3».

Приклад. Визначте тип правила дедуктивного висновку, яке було використане у такому міркуванні:

«Температура повітря +1 °С, і йде дощ. Отже температура повітря +1°С».

Розв'язок. Введемо атоми:

А — «Температура повітря +1°С»; В — «Йде дощ».

Висловлення «Температура повітря +1 °С, і йде дощ» можна зобразити у вигляді формули А В, а

одержаний висновок «температура повітря +1°С» є висловлення А. Отже, висновок зроблено відповідно до правила видалення кон'юнкції.