Користуючись введеними логічними зв'язками, можна з елементарних висловлень будувати складні висловлення, що називаються формулами або молекулами.

В логіці висловлень правильно побудована формула визначається рекурсивно таким чином:

1. Атом є формула.

2. Якщо А і В — формули, то (А В), (A В), (А В), (А~В) і ¬А — також формули.

3. Ніяких формул, крім породжених вказаними вище правилами, не існує.

Формули логіки висловлень, що відповідають складним висловленням, приймають значення I або X залежно від значень елементарних висловлень, з яких вони побудовані, і логічних зв'язок.

Приписування істиннісних значень атомам, з яких побудоване висловлення, називається інтерпретацією висловлення.

Для висловлення, що містить п атомів, можна скласти 2n інтерпретацій, як і для n-місної булевої функції. Формули логіки висловлень можна задавати таблицями істинності подібно до булевих функції. Наведемо таблицю істинності для логічних зв'язок логіки висловлень

реченням), хибне тоді і тільки тоді, коли А істинне, а В хибне. В імплікації А В висловлення А називається засновком (умовою, антецедентом), В — наслідком (висновком, консеквентом).

Приклад. Записати у вигляді формули логіки висловлень і побудувати таблицю істинності висловлення «Якщо йде дощ, то над моєю головою відкрита парасолька».

Розв'язок. Введемо атоми: А — «йде дощ»;

В — «над моєю головою відкрита парасолька».

Тоді висловлення «Якщо йде дощ, то над моєю головою відкрита парасолька» буде відповідати

формулі А В.

Приклад. „Якщо ви виконаєте всі завдання, то отримаєте відмінну оцінку”.

р = „Ви виконаєте всі завдання”

q = „Ви отримаєте відмінну оцінку” р→q = „Якщо ви виконаєте всі завдання,

то отримаєте відмінну оцінку”.

В разі виконання студентами всіх завдань вони одержать відмінну оцінку. Якщо ж студенти не виконають усіх завдань, то вони можуть отримати оцінку „відмінно”, а можуть і не отримати її залежно від інших обставин. Однак якщо студенти зробили всі завдання, а викладач не поставив оцінку „відмінно”, то студенти відчуватимуть себе ображеними. Це відповідає ситуації, коли в імплікації р→q припущення істинне, а її висновок хибний.

Прочитання формул складних висловлень може бути неоднозначним, якщо не ввести дужки, що вказують, в якому порядку зв'язуються між собою символи. Деякі дужки можна опустити, увівши послідовність виконання або пріоритет операцій таким же чином, як для операцій алгебри логіки:

¬, , , , ~.

Наприклад, такі вирази без дужок дорівнюють формулам з дужками:

А В С = А (В С); С ~ А В С = С ~ ((А В) С).

Будь-якій формулі логіки висловлень можна поставити у відповідність деяке складне висловлення природної мови і навпаки, «правильні» складні речення можна записати у вигляді формули логіки висловлень.

1)Аналіз складного речення необхідно починати з визначення такого факту: чи є воно скороченим варіантом більш розповсюдженого складного речення? Скорочений варіант слід замінити повним варіантом речення.

2)Далі виділити прості речення та взяти їх в дужки, залишаючи поза дужками службові слова, що поєднають прості речення. Процес взяття у дужки повторюється доти, доки цілком усе складне речення не виявиться взятим у дужки.

3)Після цього сполучники та звороти природної мови замінюються відповідними логічними зв'язками, а прості речення — атомарними формулами.

Приклад. Записати у вигляді формули логіки висловлень таке речення: «Оскільки я ліг пізно спати, я проспав і через це не пішов на пару».

Розв'язок. Виділимо прості речення у цьому складному реченні та візьмемо їх у дужки, залишаючи службові слова поза їх межами:

«(Оскільки (я ліг пізно спати), (я проспав)) і через це не (пішов на пару)».

Р — «Я ліг пізно спати»; Q — «Я проспав»;

S — «Я пішов на пару». (Р Q) ¬S.

Приклад. Побудувати формулу для висловлень: «Якщо студент не підготувався до іспиту або йому попався складний білет, то він не складе іспит на позитивну оцінку».

Розв'язок. Виділимо прості висловлення і послідовність їх поєднання службовими словами за допомогою дужок:

«Якщо ((студент не підготувався до іспиту) або (йому попався складний білет)), то (він не складе іспит на позитивну оцінку)».

Виходячи з прийнятих формул логіки висловлень істиннісних значень, формули розділяються на тотожно істинні, тотожно хибні та незагальнозначущі.

Формула називається тотожно істинною (тавтологією або загальнозначущою), якщо вона приймає значення «Істина» на всіх інтерпретаціях (наборах значень змінних).

Формула називається тотожно хибною (суперечливою або нездійсненною), якщо вона приймає значення «Хибність» на всіх інтерпретаціях.

Формула називається незагальнозначущою, нейтральною

або несуперечливою, якщо вона на одних інтерпретаціях приймає значення «Істина», а на інших— «Хибність».

Усі формули, які не належать до суперечливих, утворюють множину здійсненних формул.

Міркування називається правильним, якщо воно виражається тотожно істинною формулою.

6.2. Дедуктивні висновки у логіці висловлень

логічний наслідок та його властивості

аксіоми

доведення

правила дедуктивних висновків