Шпаргалки (фу!) / МП 2 курс / шпора

Введем новые переменные 0 и следующим образом:

Найдем оставшуюся временную зависимость на конденсаторе. Имеем:

тогда

частоту синусоидальной функции.

Теперь займемся построением графиков непосредственно токов и напряжений. Выпишем для наглядности полученные временные зависимости:

i(t) U0 e t sin t

L

UL t U0 0 e t sin( t )

UC (t) U0 0 e t sin t

График тока (а значит и напряжения на резисторе) будет иметь такую же структуру, как только что рассмотренный, только взятый с противоположным знаком (действительно, при замыкании контура конденсатор начинает разряжаться).

Из формулы следует, что график напряжения на индуктивности начинается из отрицательной области (в начальный момент времени), а график напряжения на конденсаторе – из такого же по модулю и противоположного по знаку значения. Напряжение на индуктивности уже достигло своего максимального значения и после коммутации спадает (по модулю), а на емкости – только приближается к максимальному значению. Исходя из этих соображений, можно качественно построить графики.

51

U

действительно, мощность не будет рассеиваться на активном элементе.

52

40. Операторный метод расчета переходных процессов.

Смысл операторного метода расчета – переход от дифференциальных уравнений к линейным. Если функция f (t) удовлетворяет условию Дирихле: является непрерывной

или имеет на конечном интервале времени конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, и

Интеграл имеет конечное значение в том случае, если f (t) растет не быстрее, чем e t : | f (t) | Me t ,

где M и - конечные вещественные числа, причем . Подобное преобразование функции получило название преобразование Лапласа.

Следующий интеграл представляет собой обратное преобразование Лапласа – переход из области изображений в область оригиналов:

Размерность переменной (т.е. тока или напряжения) в области изображений равна размерности оригинала, умноженной на секунду. Существует т.н. преобразование Карссона, для которого размерность изображения совпадает с размерностью оригинала:

( p) p f (t)e pt dt .

0

Итак, с помощью преобразования Лапласа определим изображение функции f (t) :

где e t - затухающая функция при t , а e jwt - единичный вектор, т.е. получаем произведение затухающей функции на ограниченную, которое в пределе дает 0, поэтому

AA . p

4.Пусть f (t) F ( p) , найдем изображение функции f (t) :

53

Снова возникает неопределенность в верхней подстановке, т.е. при t . Для того, чтобы интеграл имел конечное значение, f (t) должно расти не быстрее чем

e pt (см. начало лекции). Поэтому e pt затухает быстрее, чем растет f (t) . Поэтому произведение этих функций при t стремится к нулю, а значит

1 f (0) p f (t)e pt dt pF ( p) f (0) ,

0

таким образом,

f '(t) pF ( p) f (0) .

В общем случае для производной n-го порядка при ненулевых начальных условиях имеем:

Нижняя подстановка в первом слагаемом, очевидно, = 0. Поскольку функция f t

тогда и верхняя подстановка в первом слагаемом в пределе обращается в ноль, тогда

причем это выражение справедливо как при нулевых, так и при ненулевых начальных условиях.

!ВАЖНО! В общем случае преобразование Лапласа для ненулевых начальных условий отличается от преобразования для нулевых начальных условий (см. свойство 4).

Рассмотрим конкретные примеры: найдем изображения по Лапласу токов и напряжений на реактивных элементах. Пусть i(t) I ( p) , найдем изображение функции UL t :

Теперь найдем изображение функции UC (t) :

54

эти значения получили название операторные сопротивления индуктивности и емкости

соответственно.

6. Пусть f (t) e t , найдем изображение этой функции;

верхний предел обращается в ноль из тех же соображений, что и в предыдущих случаях.

7. Пусть f (t) sin wt , найдем изображение этой функции, сведя этот случай к

предыдущему. Интеграл sin t e pt dt брать непосредственно мы не будем, а

0

воспользуемся выражением комплексного синуса через экспоненты:

55

41. Расчет переходных процессов операторным методом.

Разберем решение операторным методом все те же задачи, которые мы решали классическим методом.

1.RL-цепь на постоянном токе. Сначала изобразим операторную схему замещения с учетом нулевых начальных условий (см. рисунок).Тогда для операторного тока

56

При нулевых начальных условиях расчет цепи с помощью операторного метода совпадает с комплексным методом расчета за исключением нахождения оригинала.

Переход от изображений к оригиналам.

С точки зрения математики, переход от изображений к оригиналам осуществляется с помощью следующей формулы:

эта функция удовлетворяет условиям отображения функции по Лапласу и позволяет смоделировать замыкание цепи, если замыкание ключа происходит в момент времени t 0 .

Пусть замыкание происходит в момент времени t1 0 , тогда функция Хевисайда будет иметь соответствующий сдвиг.

57

имеет кратных корней и не имеет корней, совпадающих с корнями уравнения D( p) 0 (в противном случае мы сокращаем числитель и знаменатель на общий множитель и рассматриваем новую дробь). В этом случае F ( p) может быть представлена в виде:

В левой части мы из под знака предела можем вынести D( p) , поскольку среди его корней

теорема разложения доказана. Рассмотрим теперь частные случаи.

1.Уравнение N( p) 0 имеет корень p 0 ;

Это возможно только в том случае, когда в цепи присутствуют постоянные источники ЭДС или тока. Тогда разложение примет вид:

где первое слагаемое определяет установившееся значение тока или напряжения.

2.Уравнение N( p) 0 имеет пару комплексно сопряженных корней: p1,2 j .

Этот случай возможен, когда в цепи действуют синусоидальные источники ЭДС или тока. Тогда разложение примет вид:

где сумма первых двух слагаемых определяет установившееся значение синусоидальных тока или напряжения.

3. Уравнение N( p) 0 имеет корень p1 кратности q .

58

Существуют 2 «замечательных» предела, позволяющие проверить получившийся результат, прежде чем переходить от изображений к оригиналам. Пусть нам удалось найти изображение по Лапласу искомой функции, тогда должны выполняться следующие равенства:

f (0 ) lim pF( p)

p

f ( ) lim pF( p) ,

p 0

т.е. по значению оригинальной функции в момент времени сразу после коммутации и по установившемуся режиму (принужденная составляющая функции) мы можем судить о правильности полученного изображения. Однако эти условия являются необходимыми, но не достаточными условиями правильности решения.

59

43. Общие свойства четырехполюсников.

Четырехполюсники – это устройства, служащие для передачи энергии или сигнала и

аналогично, операционный усилитель.

Четырехполюсники бывают активные и пассивные. Пассивные не содержат в своем составе источников энергии, или они взаимно скомпенсированы. Активные четырехполюсники содержат в своем составе нескомпенсированные источники энергии. Будем рассматривать свойства четырехполюсников на синусоидальном токе.

тогда связь между входными и выходными токами и напряжениями будет выглядеть следующим образом:

I1 Y11U1 Y12U2

I2 Y21U1 Y22U2

Это система уравнений получила название «система в Y параметрах».

60