Шпаргалки (фу!) / МП 2 курс / шпора

В аналитических функциях в общем виде решить данное уравнение невозможно. Решение находят с помощью итерационных методов или итерационных процедур. Итерационные методы предполагают:

a)задание алгоритма;

b)задание начальной точки.

Воспользуемся методом деления отрезка пополам. Ввиду того, что мы рассматриваем электрическую цепь, функция будет монотонна. А это значит, что если мы возьмем точку примерно в середине интервала, на котором мы рассматриваем исходную функцию, то знак полученного значения совпадет со знаком на одном из концов интервала. Затем подобными

манипуляциями рассчитываем ноль функции до тех пор, пока не будет достигнута требуемая степень точности. График функции изображен на рисунке. Запишем алгоритм решения задачи:

a)на правом конце интервала xП : f xП 0 ;

b)на левом конце интервала xЛ : f xЛ 0 ;

Отметим, каким образом нужно выбирать пределы интервала.

1 граница: напряжение на линейном элементе отсутствует, U 0 .

2 граница: предельное значение напряжения на нелинейном элементе (в данном случае, когда напряжение на нелинейном элементе равно напряжению источника ЭДС).

В условиях данной задачи:

U 0 f 156 0 U 6 f 0,1 60,6 0

Недостатки алгоритма:

линейная сходимость;

применимость только для цепей с одним нелинейным элементом.

71

57. Метод Ньютона-Рафсона.

Судя по графику (см. рис.) алгоритм достаточно быстро сходится к искомому решению, поэтому будем считать, что на k 1 м шаге требуемая степень точности достигнута и

f (Uk 1 ) 0 ,

тогда

Uk 1 Uk f '(Uk ) .

Поскольку мы рассматриваем аналитические методы решения, вычисление производной функции тоже можно провести с помощью некоторого численного алгоритма. Разложим функцию в ряд Тейлора:

Ошибка при данном способе вычисления производной будет определяться величиной x . Изменим алгоритм подсчета производной:

Действительно, при таком определении производной ошибка пропорциональна x 2 , точность метода существенно выше.

72