Шпаргалки (фу!) / МП 2 курс / шпора

12. Метод контурных токов.

Сначала выбираем произвольно направления токов в контурах. Так как оно будет условным, то исходя из полученного в дальнейшем знака, мы будем судить о направлении тока. Отталкиваться будем от законов Кирхгофа. Для нашего примера (см. рисунок) первый закон Кирхгофа имеет вид:

уменьшить размерность системы.

В данном случае мы возьмем токи из первого закона Кирхгофа и подставим их в уравнения из второго закона Кирхгофа. Получим:

напряжения на элементе обусловлено протеканием через него всех контурных токов, причем напряжение от собственного контурного тока всегда берется со знаком плюс. Падения напряжений от остальных контурных токов берутся со знаком плюс, если направления контурных токов совпадает с направлением рассматриваемого тока, и в обратном случае с минусом. Естественно, полученная матрица сопротивлений симметрична относительно главной диагонали.

11

15. Матрицы параметров цепей.

1. Матрица сопротивлений R .

Если цепь имеет n ветвей, то матрица сопротивлений имеет вид:

Строки и столбцы соответствуют номерам ветвей цепи, на главной диагонали – Rii – собственные сопротивления ветвей, Rij - взаимные сопротивления ветвей (их обуславливает взаимная индуктивность). Для линейных цепей Rij Rji . На постоянном токе R - диагональная матрица, на главной диагонали – собственные сопротивления ветвей:

Как используется матица сопротивлений; запишем закон Ома в матричной форме:

U R I ,

токов, протекающих через ветви цепи. При нумерации ветвей и при записи матриц и векторов всегда должно наблюдаться соответствие, т.е. если мы рассматриваем первую ветвь, то U1 должно соответствовать напряжению на этой ветви, I1 - ток, протекающий

через эту ветвь, R1 - сопротивление первой ветви. Матричное уравнение мы можем

решить относительно токов:

I R 1 U ,

где R 1 G - матрица проводимостей. Для постоянного тока

12

16. 1. Матрица «контур-ветвь» K ;

Этим матрицам абсолютно безразлично, какие элементы находятся в ветвях, принципиальны только параметры соединений. Запишем алгоритм формирования

матрицы K :

6.записывается матрица K :

Матрицы используются потому, что при таком представлении информация более удобна при представлении на компьютере. Заметим, что K - блочная матрица: K KХ : KD .

Исходя из того правила, как мы формировали матрицу K , KХ - всегда единичная

матрица. Мы рассматриваем независимые контура, в которые входит только одна из хорд. Поэтому все остальные элементы, кроме диагональных – нули. Единичной же она будет потому, что направление контура определяется направлением образующей его хорды.

Получается, что матрица KХ - единичная, никакой информации в себе не несет.

13

«напряжение» понятие «ЭДС ветви», которые, по сути, будут отличаться только знаком).

Тогда записанное выше уравнение K e 0 представляет собой второй закон Кирхгофа.

Но второй закон Кирхгофа может быть записан и таким образом:

K U Ek контурное ,

контура. Значит, подставляя в это уравнение U R I , получаем:

K R I Ek .

Обычно при расчете цепей нам нужно определить токи в ветвях. Проверим полученное уравнение на полноту: число уравнений должно быть равно числу неизвестных; если матричное уравнение не полно, то решить его и найти токи мы не сможем. В данном

случае, неизвестные – токи во всех ветвях (n неизвестных), известные - Ek , контуров у

нас в данном случае 4, значит и количество уравнений = 4. Система уравнений неполная, решить ее невозможно.

Отметим еще одно свойство матрицы K :

K T Iх I ,

где Ix - токи хорд, I - токи ветвей.

Доказательство:

Подставим I K T Iх в старое выражение:

K R K T Ix Ek .

Теперь число неизвестных совпадает с числом хорд (в нашем случае 4), а значит и с числом уравнений, т.е. мы перешли от неполной системы к полной, поменяв базис.

14

17. . Матрица инциденций.

Наиболее распространенной из матриц инциденций является матрица узел-ветвь A .

Особенность данной матрицы заключается в том, что не нужно выбирать дерево, что значительно упрощает решение поставленной задачи на машине.

ветви

Если смотреть на граф, то в общем случае может быть выбран и такой контур:

, у которого начало и конец совпадают, он называется собственным контуром. Но реальные цепи не содержат собственных контуров, т.е. начало и конец ветви не совпадают: ветвь начинается на одном узле, заканчивается на другом. А если так, то у ветки всего 2 узла, а это гарантирует нам, что сумма всех значений по любому столбце

есть ноль. Значит, матрица A избыточна, одну любую строку можно вычеркнуть.

Такая матрица, полученная из A вычеркиванием любой строки, называется редуцированной матрицей инциденции; поскольку мы в основном будет работать именно с этой матрицей, назовем ее обычной матрицей инциденции, а старую матрицу Aa -

полной матрицей инциденции.

Утверждение. A I 0 – первый закон Кирхгофа. Доказательство:

15

который отдельно можно не рассматривать, в нашем случае опорным будет узел 4):

Проверим записанное выше утверждение:

16

18. . Матрица сечений D .

Алгоритм построения матрицы:

1)чертится граф-схема;

2)выбирается дерево;

3)выбираются условно-положительные направления ветвей;

4)нумеруются сначала ветви дерева, потом хорды;

5)выбираются базовые сечения;

6)направление сечения определяется направлением образующей его ветви дерева;

имеет дерево, столько сечений. Выбор сечения, как и дерева, неоднозначен.

В нашем примере выберем сечения так, как показано на рисунке ниже. Обозначим на этом же рисунке направление каждого из сечений. Теперь запишем матрицу сечений:

Очевидно, матрица D - блочная:

причем Dветвей - единичная, никакой информации не несет.

Свойства матрицы D .

Утверждение: D T i 0 . Доказательство:

17

В отличие от матрицы инциденции, в данном случае мы работаем с деревом.

Утверждение: D eD e , где eD - ЭДС ветвей дерева. Доказательство:

18

21. Метод узловых потенциалов.

Заметим, что в изображенной цепи 3 узла. Известно, что распределение токов и напряжений не изменится, если мы заземлим любой из узлов и примем его потенциал

равным нулю. Заземлим узел с потенциалом 0 . По первому

закону Кирхгофа для двух оставшихся узлов запишем:

По обобщенному закону Ома, запишем:

Подставляем ** в * и группируем слагаемые с одинаковыми потенциалами:

- это и есть уравнения по МУП.

Уравнения имеют следующую структуру. Потенциал узла умножается на его собственную проводимость g1 g4 g5 g6 - сумма проводимостей всех ветвей,

сходящихся к узлу. Из этого произведения вычитаются потенциалы узлов, имеющие с рассматриваемым общие ветви, умноженные на взаимную проводимость этих узлов (сумму проводимостей всех ветвей, которые находятся между этими двумя узлами). Потенциал узла, потенциал которого мы приняли равным нулю, естественно, в уравнения

не входит. Матрица g в общем случае будет симметрична, на главной диагонали будут

стоять собственные проводимости узлов; эти элементы матрицы всегда будут иметь знак «плюс». Недиагональные элементы всегда будут иметь знак «минус». В правой части уравнений– алгебраическая сумма произведений источников ЭДС на проводимости соответствующих ветвей, причем это произведение берется со знаком «+», если ЭДС направлена к узлу, и со знаком « – », если от узла.

Рассмотрим случай, когда в цепи будут присутствовать источники тока. Понятно, что проводимость первой ветви в этом случае будет равняться нулю, и первое уравнение будет выглядеть следующим образом:

19

1 g4 g5 g6 2 g5 g6 J1 E5 g5 ,

источник тока войдет в правую часть со знаком «плюс», если он направлен к узлу и со знаком «минус» в противоположном случае. Количество уравнений не уменьшается. Следовательно, уравнения по

МУП не зависят от изначально выбранных направлений токов в ветвях. Количество уравнений по МУП:

Nуравнений МУП Nузлов 1.

МУП хорош тем, что не нужно выбирать дерево.

Посмотрим на знаки перед источниками, постараемся понять, почему направление источников так хитро учитывается. Докажем правильность расстановки знаков, обратившись к стандартной ветви. Рассмотрим схему, содержащую n узлов, и рассмотрим стандартную ветвь, сначала без источника тока.

Естесственно,

Ukm k 0 m0 .

Значит

Ikm Ykm Ukm Ekm Ykm k 0 m0 Ekm

Ykm k 0 Ykm m0 EkmYkm

Для любого узла выполняется первый закон Кирхгофа (выбрасываем только собственный узел).

m 0 m k

сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся к узлу, умноженная на потенциал собственного узла, взятая со знаком «плюс», минус сумма произведений проводимостей между i–м и j–м узлом и потенциалов соответствующих узлов равна взятой со знаком «минус» сумме произведений источников на проводимости.

Мы доказали все знаки, полученные ранее на частном примере.

Теперь вспоминаем об источнике тока. В данном случае он будет вытекающим. С учетом его наличия, уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

заземление (узел)

20