шпора

Добавил:

ionivan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Электротехника

Файл:

Данный случай характеризуется выражением

т.е. корни характеристического уравнения

- комплексно сопряженные величины.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.06.2013

Размер:

2.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

36. Задачи с некорректными начальными условиями.

Перед нами цепь первого порядка (после коммутации 2 последовательно соединенные

индуктивности можно объединить в одну). Решаем так же,

как и предыдущие задачи:

(L L )

(R R )i E ;

1 2 dt

i(t) iпр iсв ;

L L

i Ae

;

1 2

пр

св

R2 R1

Посмотрим, что произошло в момент коммутации. После

коммутации по 1 закону Кирхгофа для неразветвленного

участка цепи,

(0 ) iL

(0 ) ,

действительно, индуктивности находятся в одной ветви,

значит и ток через них протекает один и тот же. С другой стороны, до коммутации

i (0 )	E	;	i (0 ) 0 .

L	R1		L
1			2

Данный тип задач называется задачей с некорректными начальными условиями.

Ток в момент коммутации меняется скачком. Запишем уравнения в несколько ином виде. По 2 закону Кирхгофа,

L1 didt1 R1i1 L2 didt2 R2i2 E .

Чтобы понять, что произошло в нулевой момент времени, проинтегрируем оба уравнения

в интервале от t 0	до		t 0 :
0		di1	0		0	di2			0		0
L1		di1	dt R1i1dt L2			di2	dt				R2i2dt Edt 0 ;
L1		dt	dt R1i1dt L2			dt	dt				R2i2dt Edt 0 ;
0		dt	0		0	dt			0		0
0			0		0				0		0
Даже если ток изменился скачком, интеграл
					0
					R2i2dt 0 ,
					0
Значит
			0	di1		0		di2
			L1	di1	dt	L2		di2		dt 0 .
			L1	dt	dt	L2		dt		dt 0 .
			0	dt		0		dt
			0			0

Последнее уравнение можно переписать в виде:

L1i1 (0 ) L1i1(0 ) L2i2 (0 ) L2i2 (0 ) 0 , L1i1 (0 ) L2i2 (0 ) L1i1(0 ) L2i2 (0 ) .

При некорректных условиях мы переходим от сохранения тока к сохранению магнитного потока. Если в условиях данной задачи ток через индуктивность не сохраняется, то должен сохраняться магнитный поток. Исходя из этой формулировки первого закона коммутации, запишем:

	E	E		L1	L2
L1			A
	R1	R1 R2

Рассмотрим, как с энергетической точки зрения происходит скачок тока.

Значение тока сразу после коммутации должно находиться между двумя начальными значениями (в нашем случае, между 0 и E / R1 ), потому что при

A	E		L1			E
							.
	R L L				R R		.
	1	1	2	1		2
	E

	R1

i t

скачке тока на индуктивности будет бесконечное напряжение и, соответственно, на ней будет выделяться бесконечная мощность. Но если у одной индуктивности скачок будет отрицательным, т.е. она будет отдавать энергию в цепь, то скачок тока на второй индуктивности будет обусловлен не за счет энергии источника, а за счет энергии,

которую отдаст в цепь первая индуктивность. Для емкостей будет аналогичная ситуация, только со скачком напряжения, и будет сохраняться заряд.

Чтобы обеспечить скачок тока или напряжения, источник должен обладать бесконечной мощностью, что невозможно. Поэтому и начальные условия называются некорректными.

37.Разряд конденсатора с начальным напряжением на RL-цепь.

Вцепи нет источника, но зато содержится 2 реактивных элемента: катушка и емкость, обладающая напряжением в начальный момент времени. По второму закону Кирхгофа,

UR UL UC 0

i( )d U

(0) 0

C 0

Продифференцируем уравнение по времени:

d 2i

dt2

Определим ток в цепи:

i t iсв

iпр

Поскольку в цепи нет источника,

iпр

0 , тогда

i t i

A ep1t A e p2t ,

св

где p1 и p2 - корни характеристического уравнения:

p2 L pR

0 ,

откуда

p1,2

R 2

Запишем начальные условия:

iL 0 iL 0 .

До коммутации ток через индуктивность не протекал, iL 0 0 , с другой стороны,

iL 0 A1 A2 .

Нужно еще одно уравнение (цепь 2 порядка), применим 2-й закон коммутации:

uc 0 uc 0 u0 .

В момент времени t 0

UR Ri 0

UL UC U0 .

Тогда

A p e p1t A p e p2t

t 0

L A p A p

1 1

2 2

1 1

2 2

и 2 , получим:

Решая совместно 1

A1 A2

L( p1 p2 )

Отсюда найдем ток:

i(t)

[e p1t e p2t ]

L( p p )

(t) L

[ p e p1t

p e p2t ]

p1 p2

(t) Ri

U0 R

[e p1t e p2t ]

L( p1

p2 )

(t) (U

)

[ p e p1t p e p2t ]

[e p1t e p2t ]

p1 p2

Упростим полученное выражение для UC (t) . Пусть

R 2

отметим, что

R 2

L 2L

Подставив это равенство в выражение для UC (t) , получим:

UC (t)

p2e p1t

p1e p2t ,

где

p1,2

R 2

Итак, мы рассмотрели решение данной цепи в общем случае. Рассмотрим далее частные случаи и в зависимости от предполагаемых значений p1 и p2 попытаемся построить

графики токов и напряжений. Возможны 3 случая в зависимости от того, что получится в подкоренном выражении в формуле для p1,2 :

R 2

отрицательны и различны,

;

R 2

отрицательны и совпадают,

;

				R 2	1
3.	p1 и	p2	представляют собой пару комплексно сопряженных чисел,			.

				2L	LC

1случай. Апериодический характер процесса.

Вэтом случае p1 и p2 являются различными действительными отрицательными числами:

p1 0,

p2 0 ,

кроме того,

R 2

поскольку мы выбрали p1

, тогда

ep1t ep2t 0

p1 p2 0 .

Наша задача - построить графики токов и напряжений, не зная численных значений элементов цепи. Ток в контуре начинается и заканчивается в нуле (в начальный момент времени цепь разомкнута, а после замыкания ключа в цепи нет источника, чтобы поддерживать ток). Значит, ток должен достигать максимального (по модулю) значения, причем это значение всегда будет отрицательным (см. формулу для значения тока с учетом выбранных значений p1 и p2 ), что с точки зрения физики процесса означает

разрядку конденсатора. Построим графики тока в контуре и напряжений на емкости и

индуктивности (очевидно, график напряжения на сопротивлении будет повторять график тока с неким коэффициентом R ).

В начальный момент времени напряжение на индуктивности = U0 , при t UL 0

(выражение для индуктивности представляет из себя суперпозицию двух экспонент). При максимальном значении тока в контуре значение напряжения на индуктивности должно = 0 (с физической точки зрения, все напряжение от конденсатора приложено к сопротивлению, а с математической, чтобы найти максимум функции, нужно приравнять

к нулю производную этой функции и найти					U
корни полученного	уравнения;		производная		U
корни полученного	уравнения;		производная				U L
тока по времени с точностью до коэффициента				U0	U		U L
тока по времени с точностью до коэффициента				U0	U	C
равна UL (t) ).						C
равна UL (t) ).
Напряжение на конденсаторе в начальный
момент времени по 2-му закону коммутации
UC 0 UC 0 U0 , а		при	t это				t
напряжение падает до нуля.				U0			U R
напряжение падает до нуля.				U0
Теперь рассмотрим максимумы напряжений на						t1	t2
индуктивности и сопротивлении в моменты						t1	t2
времени t1 и t2 .	Как	говорилось выше,

максимум тока в контуре будет определяться из условия

(t) L di

[ p e p1t p e p2t ] 0

p1 p2

p ep1t1 p e p2t1

ln p2 .

p1 p2

Максимум напряжения на индуктивности в момент времени t2

определяется из условия

dUL L d 2i 0

p2ep1t2 p2ep2t2

2t .

dt2

38.Разряд конденсатора с начальным напряжением на RL-цепь.

UR UL UC 0

i( )d U

(0) 0

C 0

Продифференцируем уравнение по времени:

d 2i

dt2

Определим ток в цепи:

i t iсв

iпр

Поскольку в цепи нет источника,

iпр

0 , тогда

i t i

A ep1t A e p2t ,

св

где p1 и p2 - корни характеристического уравнения:

p2 L pR

0 ,

откуда

p1,2

R 2

Запишем начальные условия:

iL 0 iL 0 .

До коммутации ток через индуктивность не протекал, iL 0 0 , с другой стороны,

iL 0 A1 A2 .

Нужно еще одно уравнение (цепь 2 порядка), применим 2-й закон коммутации:

uc 0 uc 0 u0 .

В момент времени t 0

UR Ri 0

UL UC U0 .

Тогда

A p e p1t A p e p2t

t 0

L A p A p

1 1

2 2

1 1

2 2

и 2 , получим:

Решая совместно 1

A1 A2

L( p1 p2 )

Отсюда найдем ток:

i(t)

[e p1t e p2t ]

L( p p )

(t) L

[ p e p1t

p e p2t ]

p1 p2

(t) Ri

U0 R

[e p1t e p2t ]

L( p1

p2 )

(t) (U

)

[ p e p1t p e p2t ]

[e p1t e p2t ]

p1 p2

Упростим полученное выражение для UC (t) . Пусть

R 2

отметим, что

R 2

L 2L

Подставив это равенство в выражение для UC (t) , получим:

UC (t)

p2e p1t

p1e p2t ,

где

p1,2

R 2

отрицательны и различны,

;

R 2

отрицательны и совпадают,

;

				R 2	1
3.	p1 и	p2	представляют собой пару комплексно сопряженных чисел,			.

				2L	LC

2 случай. Граничный характер процесса.

Данный частный случай характеризуется следующим соотношением:

т.е. значение подкоренного выражения в формуле для

p1,2 равняется нулю.

Но тогда

p p

p , и в выражениях для тока и напряжений получаем неопределенность вида

i(t)

e p1t

e p2t

p p

В этом случае принимают p

и находят предел выражения для тока при

p p :

i(t)

lim

e p1t e p2t

te pt .

p p

p1 p2

Теперь найдем все напряжения, исходя из полученной зависимости тока от времени:

(t) L

( pt 1)e pt

UR (t) Ri UL0 Rte pt 2U0 pte pt ,

где мы учли, что RL 2 p . Тогда напряжение на конденсаторе имеет вид:

UC (t) (UL UR ) [U0 ( pt 1) 2U0 pt]e pt U0[1 pt]e pt .

Как и для 1 случая, можно найти максимумы значений тока в контуре и напряжения на индуктивности:

t	1	t		2t ,
			2
1	p			1

и графики временных зависимостей токов и напряжений будут аналогичны предыдущему

39.Разряд конденсатора с начальным напряжением на RL-цепь.

UR UL UC 0

i( )d U

(0) 0

C 0

Продифференцируем уравнение по времени:

d 2i

dt2

Определим ток в цепи:

i t iсв

iпр

Поскольку в цепи нет источника,

iпр

0 , тогда

i t i

A ep1t A e p2t ,

св

где p1 и p2 - корни характеристического уравнения:

p2 L pR

0 ,

откуда

p1,2

R 2

Запишем начальные условия:

iL 0 iL 0 .

До коммутации ток через индуктивность не протекал, iL 0 0 , с другой стороны,

iL 0 A1 A2 .

Нужно еще одно уравнение (цепь 2 порядка), применим 2-й закон коммутации:

uc 0 uc 0 u0 .

В момент времени t 0

UR Ri 0

UL UC U0 .

Тогда

A p e p1t A p e p2t

t 0

L A p A p

1 1

2 2

1 1

2 2

и 2 , получим:

Решая совместно 1

A1 A2

L( p1 p2 )

Отсюда найдем ток:

i(t)

[e p1t e p2t ]

L( p p )

(t) L

[ p e p1t

p e p2t ]

p1 p2

(t) Ri

U0 R

[e p1t e p2t ]

L( p1

p2 )

(t) (U

)

[ p e p1t p e p2t ]

[e p1t e p2t ]

p1 p2

Упростим полученное выражение для UC (t) . Пусть

R 2

отметим, что

R 2

L 2L

Подставив это равенство в выражение для UC (t) , получим:

UC (t)

p2e p1t

p1e p2t ,

где

p1,2

R 2

отрицательны и различны,

;

R 2

отрицательны и совпадают,

;

			R 2	1
p1 и	p2	представляют собой пару комплексно сопряженных чисел,			.

			2L	LC

Периодический характер процесса.

Введем следующие обозначения:

R	,	1	R 2	.

2L		LC
			2L

Тогда

p1,2 j

p1 p2 2 j .

Найдем выражение для тока в контуре:

[e t ei t e t e j t ]

e t

e j t e j t

e t sin t .

i(t)

L 2 j

2 j

Получили периодическую зависимость тока от времени, отсюда и название случая.

UL (t) L di U0 e t sin t e t cos t 1 . dt

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке МП 2 курс

#
24.06.20135.82 Mб37otvety.docx
#
24.06.20132.4 Mб25шпора.pdf