Шпаргалки (фу!) / МП 2 курс / шпора

28. Балансы мощностей.

Баланс бывает полезен для проверки: позволяет установить, правильно или нет решена задачка.

Итак, из закона сохранения энергии можно утверждать, что баланс активных мощностей существует и обязан выполняться. Однако мы ввели еще понятия полной, реактивной и комплексной мощностей. Разберемся, что получится в каждом из этих случаев.

Пусть в цепи n узлов, тогда по первому закону Кирхгофа в комплексной форме:

I12 I13 ... I1n 0

т.е. в матрице этой системы отсутствуют диагональные элементы – узел сам с собой не соединен. Посмотрим на векторную диаграмму. Изобразим три произвольных тока: I1 , I2 ,

I3 . Из рисунков ясно, что если первый закон Кирхгофа справедлив для комплексов токов, то он справедлив и для комплексно сопряженных величин:

Умножим теперь каждое из полученных для сопряженных величин уравнение на комплекс потенциала соответствующего узла, получим:

Учтем, что I12* I21* , тогда после сложения уравнений получим:

Мы получили запись для комплексных мощностей, причем сумма комплексных мощностей во всех ветвях равна нулю, значит у нас есть как положительные члены (источники), так и отрицательные (потребители), т.е.

Для полных мощностей баланс не выполняется, потому что это амплитуды. Для решения задач удобно пользоваться следующими формулами:

S èñò EI * UJ * ,

Sпотр I 2 R j I 2 X L j I 2 XC .

33

Продолжаем подсчет баланса мощностей. Обратим внимание, что полярности на источниках мы ставили так, чтобы ток протекал от минуса к плюсу, тогда в левой части баланса мощностей, в которой записывается:

UJ * EI * ,

все слагаемые в суммах будут входить со знаком «плюс». Итак, ищем полную мощность источников:

S E1 E1I2* 2 1 3 j 2 6 j .

S E2 E2 I1* 2 j 2 2 j 4 4 j .

S J UJ I1* 6 2 j 2 2 j 12 12 j 4 j 4 8 16 j .

Итого,

Sèñò 10 6 j .

Теперь правая часть баланса мощностей:

S ï î ò ðåá I 2 R j I 2 X L I 2 XC .

Здесь I - действующее значение, I a2 b2 никаких комплексных чисел в правой части в отношении токов не ставится! Итого:

S ï î ò ðåá 2 8 2 j 8 j 10 6 j .

Баланс комплексных мощностей сошелся. Пусть теперь нужно найти токи и напряжения в схеме. Рассчитаем один ток, все остальное точно так же.

Итак, найдем ток i3 . Приведем к показательной форме:

тогда

i3 t Im 2e j 45 e j t 2 2sin t 45 ,

здесь мы не забыли еще умножить на 2 , поскольку I3 1 j - действующее значение, а для гармонических составляющих мы должны писать амплитуду.

Отметим еще, что для комплексных величин справедливы все ранее пройденные методы: МКТ, МУП, наложение, эквивалентный генератор. Только символический метод справедлив лишь для линейных цепей.

34

30. Резонанс токов (резонанс в параллельном контуре).

потому что отношение мнимой к действительной части сопротивления дает нам угол сдвига фаз между током и напряжением. Для проводимости

отношение действительной и мнимой части даст нам угол сдвига фаз между напряжением и током. Чтобы получить угол сдвига фаз между током и напряжением, нужно поменять знак. Тогда если мы хотим, чтобы для входных тока и напряжения совпадал угол сдвига фаз, то

Мы получили две совпадающие резонансные частоты для параллельного и последовательного контура. Это ни о чем не говорит! Резонансная частота может быть любой для конкретной задачи. Ее нужно определять из условия совпадения тока и напряжения по фазе! Т.е. мнимое значение либо сопротивления, либо проводимости есть ноль.

Добротность контура – это отношение тока, протекающий через реактивный элемент, к току, протекающему через активный элемент:

Т.е. добротность контура равна отношению волновой проводимости и активной проводимости.

Теперь займемся построением частотных характеристик. Активная проводимость не зависит от частоты, g const . Все характеристики строим точно так же, как и в случае последовательного контура.

35

2) g 0

Абсолютно аналогично последовательному контуру, получаем график, изображенный на рисунке справа.

Рассмотрим зависимость сдвига фаз от частоты:

становится все более резкой. Для цепи без потерь (при g 0 ) получим график, аналогичный случаю с последовательным контуром: в точке резонанса меняется скачком.

Теперь рассмотрим резонансные кривые. Будем поддерживать постоянным входной ток. Тогда

представляет из себя закоротку, весь ток будет протекать через индуктивность, IL Iâõ .

36

Переходные процессы.

Внезапное изменение токов, напряжений или параметров цепи называется коммутацией. В результате коммутаций протекают переходные токи, идет переходной процесс. В чисто резистивных цепях коммутация не вызывает переходных процессов: если в результате коммутации идет перераспределение энергии, которая накоплена в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора, то только в этом случае происходит переходной процесс.

Представим, что ток через индуктивность изменился скачком. В этом случае напряжение на индуктивности должно быть равно бесконечности, однако

P(t) i(t)U (t) ,

мгновенная мощность, которая в таком случае тоже будет равна бесконечности. А поскольку мы имеем дело с источниками ограниченной мощности, получаем

1-й закон коммутации:

В любой ветви с индуктивностью ток и магнитный поток не меняют своих значений в момент коммутации и их изменения начинаются с тех значений , которые они имели до коммутации.

Если коммутация происходит в момент времени t 0 , то математическая запись будет выглядеть следующим образом:

т.е. скачка быть не может. Аналогично, если у нас есть напряжение на конденсаторе, которое меняется скачком, то ток через этот конденсатор должен быть равным бесконечности, а тогда произведение тока на напряжение тоже есть бесконечность что противоречит конечности мощности источника.

2-ой закон коммутации:

Напряжение и заряд на емкости в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели до коммутации и их изменения начинаются именно с этих значений, т.е.

называются независимыми переменными, потому что мы непосредственно из законов коммутации можем определить их начальные значения. Переменные, значения которых мы не можем после коммутации определить непосредственно, называются зависимыми.

Однако существуют такие условия, при которых величины UL , iC , UR , iR могут изменяться

скачком. Но в этом случае напряжение на индуктивности и ток через емкость будут равны бесконечности – случай идеализированный. Вскоре мы «изобретем» такую схему, что мощность источника будет конечна, а мощность на индуктивности – бесконечна.

38

34. Включение RL цепи на постоянное напряжение.

Решая характеристическое уравнение, находим p и постоянную времени:

i(t) ER Ae t

Пользуясь законами коммутации, находим постоянную интегрирования:

Записываем окончательное выражение для тока через индуктивность: i(t) ER (1 e t ) .

Теперь найдем напряжение на индуктивности:

39

35. Включение RL цепи на источник синусоидального напряжения.

L dtdi Ri Um sin( t ) ; i(t) iпр iсв .

Принуждающая составляющая тока после коммутации является синусоидальной функцией той же частоты, что и источник, а амплитуда его не зависит от времени:

тока не зависит от входного воздействия: iсв Ae t ;

RL ;

Итак, общий ток в контуре после коммутации равен:

i(t) UZm sin( t ) Ae t .

В начальный момент времени до коммутации

iL (0 ) 0 ,

тогда

Ток в начальный момент времени равен нулю, значит характеристики свободного и принужденного токов начинаются со значений равных по модулю и противоположных по знаку (равные расстояния по оси ординат отмечены на графике). Результирующий график получается сложением двух графиков. Со временем характеристика результирующего тока бесконечно близко приближается к принуждающему воздействию.

Заметим, что при установившийся режим наступает сразу после коммутации

(свободная составляющая будет отсутствовать, поскольку A UZm sin 0 0 ).

40