Шпаргалки (фу!) / МП 2 курс / шпора

Получим эту же систему уравнений в стандартном виде, т.е. через стандартную ветвь. Для стандартной ветви:

I i j

U e E .

Опираясьна закон Ома и записанные выше уравнения, получим:

I i j Y U Y e Y E .

Вспомним про редуцированную матрицу инциденций, умножим правую и левую часть на

A :

0 по первому закону Кирхгофа

Сравниваем число уравнений и число неизвестных. Матрица A дает нам N-1 уравнений,

а число неизвестных – это число ветвей графа. Вспоминаем, что

A T e

Подставляем это в полученное ранее выражение:

A Y A T A I Y E

Свели уравнение к полному. Получаем относительно :

A Y A T 1 A I Y E

Теперь можем найти все необходимое:

e A T ,U e E

i A Y e A I Y Ej i I

Замечание: Матрица A не требует составления дерева, поэтому вычислительный алгоритм для машин будет относительно простым.

21

22. Расчет цепей на синусоидальном токе.

Переменными называются токи и напряжения, изменяющиеся во времени. Токи и напряжения, значения которых повторяются через определенное время,

называются периодическими:

где Т – минимальный промежуток времени, через которое это равенство выполняется –

частотой.

Преимущество синусоидальных токов:

1.при трансформации форма токов и напряжений не меняется;

2.реакцией цепи на синусоидальное воздействие является синусоидальная функция той же частоты (доказательство этого утверждения оставим на первый семестр);

3.нет помех радиоприему.

характеристика синусоидальной функции – ее действующее значение:

Теперь поясним выше сказанное, отдельно взяв интеграл под корнем:

ВНИМАНИЕ: Амперметр всегда показывает действующее значение.

Введем понятие среднего значения – средневыпрямленное за период значение функции.

Рассмотрим коэффициенты, характеризующие синусоиду:

коэффициент амплитуды:

Поскольку частоты воздействия и реакции цепи одинаковы, при решении задач нас будут интересовать амплитудные значения и сдвиги фаз.

22

e j cos j sin ,

т.е. эта величина определяет начальный сдвиг фаз на комплексной плоскости. Рассмотрим фактор e j t :

e j t cos t j sin t .

Это единичный вектор, который определяет направление вращения вектора тока на комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью . Можно записать еще и следующим образом:

Величины, зависящие от времени: токи, напряжения, значения источников ЭДС и тока изображаются на комплексной плоскости векторами и обозначаются I , U , E, J ( с

точкой). Величины не зависящие от времени (сопротивление,..), отображаются

отрезками.

Если при решении задачи с помощью комплексных числе мы нашли комплексную амплитуду, то для нахождения временной функции мы обязаны помножить эту амплитуду

на e j t и взять от полученной величины мнимую часть:

Im((Ime j )e j t ) Im sin(t ) .

1)соответствие временных функций и комплексных величин (векторов), которое справедливо только для линейных цепей (принцип суперпозиции);

2)из двух составляющих - sin и cos - физическая реализация возможна только для синуса.

3)переход в область действительных времен (оригиналов) осуществляется путем выделения мнимой части.

24

24. Основная идея состояла в том, чтобы уйти от системы интегральных и дифференциальных уравнений. Путь у нас есть ток, у него есть отображение:

посмотрим, что происходит с его производной:

dit t Im cos t 1 .

Мы говорили, что переход осуществляется по синусу, поэтому

Теперь переходим в область комплексных времен (изображений):

Вывод: В области комплексных величин операция дифференцирования заменяется умножением на фактор j .

Посмотрим теперь на интеграл:

Вывод: В области комплексных величин операция интегрирования заменяется делением на фактор j .

Теперь ясно, что мы от системы интегро-дифференциальных уравнений можем уйти в область комплексных величин, решить задачу, а потом вернуться к область действительных функций путем выделения мнимой части.

Еще мы ранее говорили о системе вращающихся векторов: у них у всех одинаковая частота. В этом мы сейчас и убедились: действительно, у всех рассматриваемых векторов

есть множитель e j t – единичный вектор, обеспечивающий вращение всей системы против часовой стрелки с одной частотой. Значит мы может рассматривать только

взаимное расположение наших векторов на комплексной плоскости, а о факторе e j t нужно вспоминать только тогда, когда переходим в область действительных времен.

Расчет синусоидальных функций с использованием комплексных величин называется

комплексным или символическим методом.

25

1 способ:

Т.к. вектора тока и напряжения вращаются с одинаковой частотой, их взаимное расположение будет зафиксировано. Тогда пусть u i , и будем считать, что

u t Um sin t i t Im sin t .

Записываем второй закон Кирхгофа для цепи:

u t iR L di 1 t i d UC 0 . dt C 0

Здесь мы возьмем определенный интеграл, чтобы не выпускать начальные значения и смотреть, что происходит в цепи. Далее определенным интегралом пользоваться не будем (впоследствии будет показано, почему). Подставляем в это уравнение начальные:

Мы уже говорили, что реакцией цепи на синусоидальное воздействие будет синусоидальное воздействие той же частоты. Поэтому в установившемся режиме (а мы

эти слагаемые обусловлены переходным процессом. Казалось бы, вполне естественно

напряжение, которое имеется в нулевой момент времени на конденсаторе (это напряжение появляется в результате переходного процесса, по сути UC 0 - интеграл от до 0 ).

Итак, к этому материалу мы вернемся в следующем семестре, а пока будем писать неопределенный интеграл. Теперь решим получившееся уравнение, взяв два удобных момента времени:

1) t 0 :

Um sin LIm Im ;

C

2) t 2 :

Um cos Im R ;

Получили два уравнения с двумя неизвестными. Решаем:

26

Из этого уравнения следует, что угол сдвига фаз между током и напряжением определяется только параметрами самой цепи.

Вернемся к первоначальному уравнению для этой задачи и посмотрим размерность:

сопротивления – сопротивления индуктивности и емкости на переменном токе, измеряются, как и активные сопротивления, в Омах. График зависимости реактивных сопротивлений от изображен на рисунке.

ВАЖНО!!!

Здесь Z именно неперечеркнуто!!! Z будет иметь другой смысл: Z Z

При этом комплексное сопротивление индуктивности и емкости соответственно имеют вид:

Комплексные величины равны тогда и только тогда, когда равны их амплитуды и фазы:

27

Посмотрим на реактивные сопротивления, на uL и uC . Пусть для тока есть

тогда для индуктивности:

uL L didi j LIm

Из последнего уравнения следует, что U L и I будут располагаться так, как

j

показано на рисунке (действительно, j e 2 ). Аналогично для емкости:

Тогда вектор напряжения относительно вектора тока будет направлен вниз (см. рисунок).

Итак, если вращение вектора тока и вектора напряжения по кратчайшему пути происходят против часовой стрелки, то такой угол сдвига фаз является положительным, если по часовой стрелке – отрицательным.

28

27. Мощности в цепях синусоидального тока.

Пусть у нас есть пассивный двухполюсник, есть входной ток и входное напряжение:

i t Im sin t ,

u t Um sin t .

t

Есть некая средняя линия IU cos (пунктир), не зависящая от времени, и

накладывающаяся на нее периодическая функция, причем обладающая удвоенной частотой по отношению к внешнему воздействию и реакции цепи. Положительное

значение p t («положительная» площадь) говорить нам о том, что ток и напряжение совпадают по фазе, и источник отдает энергию в нагрузку. Отрицательное значение p t

обусловлено возвращением энергии, накопленной элементами цепи в электрическом и магнитном поле, в источник.

t

p t dt - энергия, которая закачивается источником в нагрузку. Определим активную

0

мощность – среднюю за период энергию, передаваемую от источника в нагрузку:

Эта мощность измеряется в Âò - Ваттах. Определение справедливо для периодического

как синусоидального, так и несинусоидального воздействия. Для синусоидального тока имеем:

P IU cos .

Это не определение мощности, это следствие из общего определения, записанного чуть выше.

Посмотрим, в каких пределах может меняться . Т.к. двухполюсник у нас пассивный,

мощность он только потребляет (действующие значения тока и напряжения положительны по определению). Тогда

29

Посмотрим теперь мощности на активном сопротивлении, на индуктивности и на емкости.

1) активное сопротивление;

i t Im sin t

p t IU cos IU cos 2t .

Ток и напряжение по фазе совпадают, 0 , активная мощность p IU , тогда p t IU IU cos 2t

Построим график:

t

Причем всегда P 0 . Действительно, из энергетических соображений: не происходит накопления энергии в магнитном и электрическом полях, а сопротивление всегда потребляет мощность.

2) индуктивность;

i t Im sin t

Посмотрим на физический смысл p t :

Мгновенная мощность равна скорости изменения энергии, запасаемой в магнитном поле катушки. Из обсуждаемой выше векторной диаграммы тока и напряжения на

индуктивности, 2 , тогда

p t IU sin 2 t .

30