9.1. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции. Поле соленоида и тороида

В третьей лекции было показано, что для электростатического поля

т

. е. циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна нулю. Можно показать, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна алгебраи­ческой сумме токов, охватываемых контуром, умноженной на ₀ , т. е.

(1)

П

Рис. 1

L

ри этом токи будем считать положительными, если они совпадают с поступательным движением правого буравчика, рукоятка которого вращается по направлению обхода контура. Для нашего случая, (см. рис. 1), это будут токи, текущие от нас и обозначенные . Токи, те­кущие в обратном

направлении, будут считаться отрицательными. Для рис. 1, это будут токи, текущие на нас и обозначенные кружком с точкой в центре кружка.

Поскольку , то магнитное поле не является потенциальным, оно называется

вихревым или соленоидальным.

Теорему о циркуляции вектора (1) называют также законом полного тока для магнитного поля в вакууме.

Применим теорему о циркуляции (1)для вычисления индукции магнитного поля со­леноида и тороида.

9.1.1. Поле соленоида

С

l

оленоидом, (см. рис. 2), называется цилиндрическая катушка, на которую вплотную намотано большое число витков провода. Пусть N - число витков вдоль длины соленоида l, тогда , где L – контур 12341

или .

Интегралы на участках 1-2, 3- 4 равны нулю, т.к. и =Bdlcosπ/2 =0;

интеграл на участ­ке 4-1 равен нулю, т.к. вне соленоида индукция равна нулю. Поэтому , отсюда B=, (2)

где n=N / l - число витков, приходящееся на единицу длины соленоида. Поле соленоида однородно.

9.1.2. Поле тороида

Тороид (см.рис.3), представляет тонкий провод, плотно навитый на каркас, имеющий форму тора. Для него

где R - радиус средней линии тора, отсюда B = (3)

Поле тороида неоднородно: оно уменьшается с увеличением r. Поле вне тороида рав­но нулю.

9.2. Магнитный поток. Теорема Гаусса

Для однородного магнитного поля, пронизывающего плоскую поверхность площади S, ( см. рис. 4 ), магнитный поток

Ф= = BScos=B_n S (4)

где = S , - нормаль к поверхности.

В

S

общем случае вводят понятие магнитного потока через ма­лую поверхность площадьюdS, которую можно считать плос­кой и в пределах которой магнитное поле можно считать однородным, т. е.

dФ = d= BdS cos= BdS. (5)

Магнитный поток сквозь произвольную поверхность Ф==.

В природе нет магнитных зарядов и поэтому теорема Гаусса для магнитного потока имеет вид Ф = , (6)

т.е. магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю.

Пусть в формуле (4) = 0 , т.е. (см. рис. 4), тогда Ф=BS . Магнитный поток в СИ измеряется в веберах - (Вб): 1Вб = 1 Тл1 м².

Поток магнитной индукции в 1Вб - это поток, пронизывающий площадку в 1 м², расположенную перпендику­лярно силовым линиям однородного магнитного поля, индукция которого равна 1Тл.