33. Разложение функций в тригонометрические ряды на произвольном промежутке.

Часто возникает задача разложения функций в тригонометрический ряд на произвольном промежутке

y[a,b] (a,b < ,a < b)

x=y+; [-,] переходит в [a,b].

,m, f(y+)=f*(y); dx=dy, a_n=f*(y)cosn(y+)dy

b_n=f*(y)sin n(y+)dy, f*(y)=+(a_ncos n(y+)+b_nsin n(y+))

Разложив cos и sin по формулам:

f*(y)=+(a*_ncos ny+b*_nsin ny), где нужно вычислить a*_n , b*_n и a*₀ .

34. Разложение четных функций в тригонометрический ряд.

f(x)=f(-x) , xR¹

a_n=f(x)cos nxdx=f(x)cos nxdx

b_n=0

f(x)= +a_ncos nx - разложение по косинусам.

35. Разложение нечетных функций в тригонометрический ряд.

f(x)= - f(-x); a₀=0, a_n=0

f(x)= b_nsin nx

b_n=f(x)sin nxdx- разложение по синусам.

Примеры: 1) f(x)=x

a₀=1dx=2; a_n=1cos nxdx=0

f(x)= =1

2) Функция:

b_n=1sin nxdx

36. Разложение функций в ряд по синусам в несимметричном промежутке (0, l).

f(x) , x[0, L]. Доопределим функцию на промежутке [-L,0] (нечетным образом)

1. В ряд по синусам.

f(x)= b_nsin, где

b_n=f(x)sindx

2. В ряд по косинусам (четным образом).

f(x)= +a_ncos, где

a_n=f(x)cosdx