13.Теорема об абсолютной сходимости.

Если сходится |a_n|, то сходится и сам a_n.

Определение: Если ряд |a_n| сх-ся, то говорят, что ряд абсолютно сх-ся. Если сам ряд a_n сх-ся, а ряд |a_n| расходится, то говорят, что a_n сх-ся неабсолютно (условно).

Определение: Ряд у которого полож. члены чередуются через один - знакочередующийся. Для знакочередующегося ряда свой достаточный признак сходимости.

14. Признак Лейбница

Если у знакочередующегося ряда n-й член стремится к 0 монотонно убывая, то ряд сходится, сумма ряда имеет знак 1го члена ряда и не превосх. его по модулю.

15. Свойства сходящихся рядов.

Обычные св-ва конечных сумм – сочетательность, переместительность не перенос. автоматически на суммы рядов, т.к. при вычислении суммы ряда добавляется новая операция переход к пределу.

Теорема о сочетательности сх-ся ряда.

Сходимость и сумма сходящегося ряда сохраняется, если произвольным образом объединить члены ряда в группы, сохраняя порядок членов: (а₁+а₂+…+а_n)+(a_n+1+a_n+2+a_n+3)… ( b_k сх-ся к той же сумме, что иa_n). Соч-ть в обратном порядке вообще говоря не имеет места. Напр.: (1-1)+(1-1)+…=0+0+… сх-ся: S=0, а после опускания скобок расх-ся (S1=1,S2=0,S3=1,S4=0; {Sn} не имеет предела).

16.Теорема Дирихле о перестановочности абсолютно сх-ся ряда.

У абсолютно сх-ся ряда сходимость и сумма сохр при любой перестановке членов.

17. Функциональные ряды. Равномерная сходимость.

Функциональный ряд u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+…= u_n(x) (1), где u_n(x) – ф-ии с некоторой общей областью определения Х, при каждом конкретном хХ предст. собой числовой ряд, который может сходиться или расх-ся.

Определение Множество всех х при которых функциональный ряд (1) сх-ся (т.Е. Получаются сх-ся числовые ряды) - область сходимости функционального ряда.

18.Определение: Если по любому заданному >0 можно указать n_, такое что при всех n> n_ сразу для всех хЕ выполняется неравенство |S_n(x)-S(x)|<: (>0)( n_):(n> n_)(хЕ)[|S_n(x)-S(x)|= |r_n(x)|<].

Геометрически: в случае сх-ти при n> n_ все графики у=S_n(x) целиком попадут в заданную полосу между графиками. В случае наравномерной сх-ти какой бы n_ ни взять при n> n_ не удаётся заключить весь график у=S_n (x) в заданную полосу: всегда найдётся точка х Е т.ч. точка с координатами (х, S_n (x)) остаётся вне полосы.

Теорема об остатке равномерно сх-ся ряда.

Функ. ряд (1) сходящийся на множестве Е (т.е. сх-ся поточно) равномерно сх-ся на Е lim |r_n(x)| =0.

Теорема Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.

Функ. ряд (1) сх-ся на множнстве Е равномерно  для >0 существует n_ такое, что при m>n>n_ и xE [u_k(x)|<]

Из критерия Коши получается след. достаточный признак равномерной сх-ти.

19. Признак Вейерштрасса о равномерной сх-ти.

Если существует положительный, числовой, сх-ся ряд a_n (4), такой что (n)(хЕ) [|u_k(x)|a_n] (мажорирующий ряд, мажоранта), то ряд (1) сх-ся на множестве Е абсолютно и равномерно.

Определение. Функциональный ряд для которого сущ. мажоранта, наз-ся мажорирующим. Ряд, мажорируемый на Е сх-ся абсолютно и равномерно на мн-ве Е.