5О. Прямая сумма подпространств

Пусть и – два подпространства линейного пространства .

Определение 8. Будем говорить, что векторное пространство представляет собой прямую сумму подпространств и , если может быть единственным образом представлен в виде суммы , где , .

Обозначение. .

В этом случае говорят, что разложимо в прямую сумму подпространств.

Обобщение. Если – подпространства мжет быть единственным образом представлен в виде , где , то сумма называется прямой суммой и обозначается .

Пример. Пусть – –мерное линейное пространство с базисом . Пусть , т.е. – линейная оболочка, натянутая на вектор :.Тогда .

Возможность других представлений следуе из

Теорема 7. Для того, чтобы пространство было прямой суммой своих подпространст и достаточно, чтобы .

Доказательство. Пусть – базис и – базис в и . Докажем, что – базис в . Так как по условию , то достаточно показать, что – линейно независимы. Рассмотрим ситуационную комбинацию эих элементов и приравняем её к нулю:

т.к. слева , а справа , а , вектора – линейно независимы.

Таким образом, может быть разложен по базису:

,

где и , т.е. .

Осталось показать, что такое представление единственно.

Пусть и т.к. . ■

Замечание. Если , но сумма не прямая, то представление не единственно. Например,

и – подпространства и . На и . Иначе дело обстоит, если – такое же, а .

6О. Преобразование координат вектора при изменении базиса векторного пространства.

Пусть в –мерном векторном пространстве даны два базиса и . Каждый из векторов разложим по базису :

,

(3)

или, кратко,

.

(3’)

Координаты разложения векторов «нового» базиса по старому запишем в виде матрицы

,

столбцами которой являются координаты векторов в базисе . Поэтому столбцы матрицы линейно независимы и значит .

Определение 9. Матрица, –ый столбец которой состоит из координат вектора в базисе , называется матрицей перехода от базиса к базису .

Если ввести в рассмотрение матрицы–строки и , то формулы (3) можно переписать в виде

.

Так как , то , т.е. − матрица перехода от к .

Теорема. Пусть в задан базис . Тогда любая матрица : , является матрицей перехода от к некоторому другому базису .

Доказательство. Так как , то столбцы линейно независимы они служат координатами линейно независимых векторов, которые можно выбрать в качестве нового базиса в .

Теперь рассмотрим, как связаны координаты вектора в различных базисах. Пусть вектор имеет координаты и в базисах и соответственно, т.е.

и .

В силу , откуда в силу единственности разложения по базису имеем .

Пример. Пусть рассматриваются вектора на плоскости и пусть . Пусть новый базис получается из старого поворотом на угол против часовой стрелки. Тогда , и матрица перехода имеет вид:

.

Поэтому

.