§10. Подпространства линейных пространств

1^о. Определение подпространства и линейной оболочки

Определение 1. Непустое подмножество векторного пространства над полем называется линейным подпространством (или просто подпространством) линейного пространства , если выполняются следующие свойства:

1. , их сумма .

2. , , имеем: .

Лемма 1. Подпространство векторного пространства само является векторным пространством.

Доказательство. Покажем, что – абелева группа относительно сложения. Так как ассоциативность и коммутативность выполняются для любых элементов , то эти свойства выполняются и для . Осталось проверить, что и , его противоположный элемент . Действительно, так как при . Так , и – элемент, противоположный , принадлежит и и является противоположным к . Остальные свойства справедливы, так как они справедливы для любых элементов .

Примеры:

1) и подпространства линейного пространства . они называются несобственными подпространствами.

2) – подпространство в пространстве .

Рассмотрим множество векторов пространства .

Определение 2. Линейной оболочкой множества (линейной оболочкой ) будем называть совокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т.е. множество элементов вида

,

где – произвольные элементы .

Обозначение. – линейная оболочка . Множество называется множеством или системой образующих для .

Лемма 2. Любая линейная оболочка является подпространством основного линейного пространства , причем линейная оболочка является наименьшим подпространством, содержащим .

Доказательство. То, что – подпространство, следует из того, что для выполняются аксиомы 1^о, 2^о, Определение 1. Так как это подпространство содержит и, с другой стороны, любое другое подпространство, содержащее , будет содержать их линейные оболочки и значит содержит , т.е. – подмножество такого множества.

Пример. Если рассмотреть , и , , , …, , то .

Лемма 3.

1. Если – подпространство в .

2. Если подпространство не совпадает со всем векторным пространством размерности , то .

Доказательство. Методом от противного.

1. Если независимых векторов в они линейно независимы в , т.е. противоречие.

2. Пусть по теореме 4 любые векторов образуют базис в . Но так как любые векторов образуют базис в они совпадают .

Замечание. Если – базис в , то любое подмножество является базисом некоторого подпространства базис не может быть получен простым выбором подмножества из множества . Например, . Вместе с тем, справедлива теорема.

Теорема 1. Если элементы составляют базис k-мерного подпространства пространства , то этот базис может быть дополнен элементами так, что совокупность , – базис .

Доказательство. Пусть . Тогда существует вектор – линейно независимы, так как в противном случае . Продолжая далее указанную процедуру, получим , .

Теорема 2 (о размерности линейной оболочки векторов). Размерность линейной оболочки равна максимальному числу линейно независимых векторов в множестве . В частности, если – линейно независимы, то и эти элементы образуют базис в .

Доказательство. Пусть среди элементов есть линейно независимых элементов и любые элементов линейно зависимы. Добавим к произвольный элемент . Тогда – линейно зависимы, т.е.

и

среди , , …, хотя бы один не нуль. Очевидно, что (так как иначе – линейно зависимы) , т.е. любой другой элемент может быть представлен как линейная комбинация . Но все элементы имеют вид подставляя здесь вместо их представление как линейной комбинации . Это означает, что – базис и что .