Поверхности второго порядка

.

Тогда в новой прямоугольной системе координат исследуемая поверхность имеет уравнение

(19)

(более подробно переход от уравнения (1) к уравнению (19) будет обсуждаться при исследовании общего уравнение квадрики, см. §18).

А. Пусть все три числа отличны от нуля. Тогда по аналогии с предложением 1 из §14 можно построить преобразования переноса такие, что уравнение (19) примет вид

.

(20)

А.1. Пусть одинакового знака. Имеются три возможности.

А.1а. Если знак противоположен знаку , то уравнение (20) можно переписать в виде

(1)

.

Т.е. полученная поверхность является эллипсоидом.

А.1б. Если знак совпадает со знаком , то (20) принимает вид

(2)

–

– мнимый эллипсоид.

А.1в. Если , то (20) принимает вид

(3)

.

Этому уравнению удовлетворяет единственная точка, а именно нулевая точка .

А.2. Пусть два из чисел имеют один знак, а третье – противоположный им знак.

А.2а. Если , то умножая на и переставляя, если нужно, переменные, уравнение (20) можно привести к одному из следующих видов

(4)

–

– однополостный гиперболоид,

(5)

–

– двуполостный гиперболоид.

А.2б. Если , то (20) принимает вид:

(6)

–

– уравнение конуса.

Б. Пусть одно равно нулю. Будем считать, что . Тогда переносом по и уравнение (19) приводится к виду

.

(21)

Б.1. Если , то после переноса по из (21) получаем

.

Б.1а. Если и имеют одинаковый знак то (заменяя при необходимости на ) получаем

(7)

–

– эллиптический параболоид.

Б.1б. Если и – разных знаков, то получаем

(8)

–

– гиперболический параболоид.

Б.2. Если в (21) , то (21) является цилиндрической поверхностью и возможны следующие случаи.

Б.2а. имеют одинаковый знак, противоположный знаку :

(9)

–

– эллиптический цилиндр.

Б.2б. , имеют одинаковый знак:

(10)

–

– мнимый эллиптический цилиндр.

Б.2в. имеют одинаковый знак, :

(11)

–

– пара мнимых пересекающихся плоскостей.

Б.2г. и имеют различные знаки, :

(12)

–

– гиперболический цилиндр.

Б.2д. и имеют различные знаки, :

(13)

–

– две пересекающиеся плоскости.

В. Пусть , . Тогда уравнение (19) после переноса по принимает вид:

.

(22)

В.1. Пусть хотя бы одно из не равно нулю. Выполним поворот координатной системы вокруг оси на угол такой, что

,

где .

Тогда новые координаты связаны со старыми формулами

,

и уравнение (22) в новой системе координат принимает вид

.

Далее после переноса вдаль получаем уравнение вида

(14)

–

– параболический цилиндр.

В.2. Если , то уравнение (22) имеет вид

и возможны следующие три случая.

В.2а. :

(15)

–

– пара параллельных плоскостей.

В.2б. :

(16)

–

– пара мнимых параллельных плоскостей.

В.2в. :

(17)

–

– пара совпадающих плоскостей.