Примеры.

1) . порождается вектором _//, // . Обычно вместо пишут , т.е. − параметрические уравнения прямой на плоскости.

2) . порождается вектором − параметрические уравнения прямой в трехмерном пространстве.

3) . натянуто на векторы , − параметрические уравнения плоскости в трехмерном пространстве.

3˚. Задание плоскостей в аффинном пространстве как решения системы линейных уравнений.

Пусть в –мерном аффинном пространстве А введена некоторая система координат. Тогда каждой точке может быть поставлена в соответствие система чисел .

Рассмотрим систему алгебраических уравнений:

(3)

и пусть . Каждое решение системы (3) можно истолковывать как точку в А.

Теорема 2. Все решения системы (3) образуют в А плоскость размерности .

Доказательство: Пусть − одно из решений (3), т.е.

.

(4)

Вычитая (4) из (3), получаем:

.

(5)

Если обозначить , то (5) – система однородных уравнений на , ранг системы равен , и, следовательно, множество решений этой системы образует подпространство размерности , базисом которого является фундаментальная система решений. Пусть это векторы . Тогда

.

(6)

Уравнения (6) – векторные параметрические уравнения плоскости (см. (1)), направляющим пространством которой является линейная оболочка фундаментальной системы решений системы (5). ■

Таким образом, если плоскость не проходит через начало координат, то она определяется как множество решений СЛНУ, если через начало координат, то − СЛОУ.

Если , т.е. гиперплоскость определяется одним линейным уравнением с неизвестными. Так как любая плоскость – система линейных уравнений, то любая плоскость может рассматриваться как пересечение нескольких гиперплоскостей.

Пример. Пусть в А плоскость задана системой уравнений , , . Найти параметрическое уравнение плоскости.

Здесь , т.е. рассматривается 3–мерная плоскость.

Частным решением рассматриваемой системы уравнений является . Значит, плоскость проходит через точку . Для соответствующей СЛОУ

фундаментальная система решений может быть задана векторами

.

Следовательно, векторное параметрическое уравнение плоскости имеет вид

,

а в координатах оно имеет вид

, , , , , .

4˚. Прямая линия и гиперплоскость.

Прямая линия имеет место, если − параметрическое уравнение прямой. Будем говорить, что эта прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор .

Пусть на прямой заданы две точки и . Тогда согласно замечанию 3, эти две точки полностью определяют исследуемую прямую. В качестве направляющего вектора можно выбрать получаем следующее уравнение прямой, проходящей через две точки:

.

Исключая из этих уравнений , уравнение прямой можно переписать в виде:

− уравнение прямой, проходящей через две точки, или, с использованием направляющего вектора :

− уравнения прямой с направляющими коэффициентами или канонические уравнения прямой.

Очевидно, что прямая есть решение системы независимых уравнений.

Пример. − уравнение прямой в пространстве. − уравнение прямой на плоскости.

Для гиперплоскости и она определяется одним уравнением первого порядка. Через точек, находящихся в общем положении, проходит единственная гиперплоскость. Как её построить? Пусть − точек с координатами . Тогда произвольная точка лежит на гиперплоскости, тогда и только тогда, когда векторы − линейно зависимы. Это выражается равенством

.

Разлагая по первой строке, видим, что это уравнение первой степени.