11. Линейное преобразование, сопряженное данному.

1º. Определения, свойства.

Здесь изучаются линейные преобразования в евклидовых пространствах, т.е. в линейных пространствах со скалярным произведением.

Опр.1 Линейное преобразование евклидово пространство называется сопряженным данному преобразованию , если

(1)

Лемма 1. а) Если произведение данной строки на произвольный столбец равно нулю, то строка равна нулю;

б) если произведение произвольной строки на данный столбец равно нулю, то столбец состоит из нулей.

Док-во:

а) Рассмотрим строку Ее произведением на столбец - i-ая строка равно и равно 0

б) Аналогично.■

Пусть - n-мерное евклидово пространство и пусть для симметричного преобразования сопряженное ему преобразование

Пусть - базис в Выясним, как связаны матрицы и Пусть в базисе они имеют матрицы и . Тогда (1) примет вид:

где - матрица Грама базиса . Тогда

в силу леммы 1

(2)

где 0 – нулевая матрица.

Если базис - ортонормированный, то

(3)

Предложение 1. Каждое линейное преобразование в евклидовом пространстве имеет сопряженное преобразование, причем единственное.

Док-во:

В выберем ортонормированный базис . Пусть А – матрица линейного преобразования и пусть - матрица некоторого преобразования Тогда условие (1) с преобразованием приводит к следующему:

т.е. - матрица сопряженного преобразования. Если бы было два преобразования, сопряженных , то в силу (3) их бы матрицы совпадали.■

Свойства сопряженных операторов.

1.

2.Следует из того, что и предложения 1.

3.

4.

5.

Док-во самостоятельно.

Предложение 2. Ели подпространство инвариантно относительно , ортогональное к нему дополнение инвариантно относительно

Док-во:

инвариантно относительно

Пусть .■

Предложение 3. Характеристический многочлен сопряженного преобразования совпадает с характиристическим многочленом самого линейного преобразования.

Док-во:

, т.к.

2º. Самосопряженные преобразования.

Опр.2 Линейное преобразование евклидова пространства называется самосопряженным или симметрическим, если

Предложение 4. Преобразование является самосопряженным его матрица в любом ортонормированном базисе симметрическая (т.е. удовлетворяет условию ).

Теорема 1. Характеристические числа самосопряженного линейного оператора вещественны.

Док-во:

Пусть - собственное значение самосопряженного линейного оператора , т.е. . Для вещественной матрицы имеет наряду с корень . Покажем, что - соответствующий собственный вектор. Действительно, . Покажем далее, что

Имеем выполняя транспонирование (*)

(**)

Вычитая (*)-(**),имеем:. Т.к. - вещественное число ■

Следствие. Если - симметричная матрица, то все корни уравнения - вещественные.

Теорема 2. Собственные векторы самосопряженного преобразования , принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Док-во:

Пусть и Тогда и ■

Теорема 3. Если - инвариантное подпространство относительно самосопряженного преобразования , то его ортогональное дополнение - тоже инвариантное подпространство.

Док-во:

Пусть , т.е. . Пусть , т.е. .■

Теорема 4. Пусть - самосопряженное линейное преобразование в . Тогда в существует ортонормированный базис из собственных векторов.

Док-во:

Методом математической индукции по числу измерений n=1. Очевидно, т.к. - собственный для искомый базис – вектор длины 1.

Пусть для n-1 верно. Докажем для n. По теореме 1 хотя бы одно собственное значение хотя бы одно одномерное инвариантное подпространство . Пусть - единичный вектор в нем. По теореме 3 ортогональное дополнение - инвариантное подпространство размерности n-1.

Пусть - сужение на (=). Тогда - самосопряженный на, т.к. выполнено для . Более того, если x – собственный вектор для , то он собственный для .

По предположению индукции в (n-1) – мерный ортонормированный базис из собственных векторов для - ортонормированный базис из (вектору , а они ортогональны по предположению индукции).■

Следствие. Если - симметрическая матрица, то ортогональная матрица - диагональная матрица.

Док-во:

Следует из того, что в базисе собственных векторов матрица принимает диагональный вид.■

Для построения такого базиса находят собственные вектора. Если собственные вектора принадлежат разным собственным значениям, то по теореме 2 они ортогональны, если - кратный корень, то полученные собственные вектора нужно ортогонализовать и нормировать.