Тензоры_лин_простр

§17. Тензоры в линейном пространстве.

1º.Определение тензора и примеры.

Пусть даны n-мерное линейное пространство V и сопряжённое к нему пространство V. Пусть {e} и {f} – два биортогональных базиса в V и V, соответственно.

Если переход от базиса {e} к базису {e} осуществляется с помощью матрицы : e = e, то переход к соответствующему биортогональному базису { f} осуществляется по формулам f = f, где Т={} – матрица, обратная к .

Def 1. Будем говорить, что в V задан тензор типа (p,q), если каждому базису {e} в V сопоставлен набор n чисел а, который при переходе от одного базиса к другому преобразуется по формулам

а = ……а. (1)

Здесь образуют матрицу перехода от базиса {e} к другому базису {e} , {} - образуют матрицу Т, обратную к . Такой тензор называется р раз ковариантным и q раз контравариантным. Число p+q называется рангом (валентностью) тензора. Числа а называются компонентами тензора.

Нижние индексы тензора называются ковариантными, верхние – контравариантными.

Числа p и q называются соответственно ковариантной и контравариантной валентностью тензора.

Def 2. Два тензора равны, если они одного типа и имеют одинаковые компоненты в некотором базисе.

Тогда из формулы (1) следует, что компоненты этих тензоров равны в любом базисе.

Утверждение 1. Если в некотором базисе {e} задан набор n чисел, то можно построить тензор типа (p,q), имеющий в базисе {e} эти числа в качестве компонент.

Компоненты такого тензора в других базисах могут быть найдены с помощью формул (1).

Пример 1. Вектор в V определяет тензор типа (0,1). Действительно, если задан вектор, то каждому базису соответствует n компонент, образующих матрицу – столбец. При этом компоненты, соответствующие разным базисам, связаны формулой Х = Х:

Х = Х

Это – закон преобразования компонент тензора типа (0,1).

Пример 2. Линейная функция на пространстве V определяет тензор типа (1,0). Действительно, если задана линейная функция, то каждому базису соответствует n компонент функции, образующих строку коэффициентов этой функции. При изменении базиса коэффициенты линейной функции a(x) преобразуются по формуле a = a, т.е. a = a.

Тензоры типа (1,0) – векторы сопряжённого пространства V – называют ковекторами.

Пример 3. Линейное преобразование пространства V является тензором типа (1,1). В самом деле, если задано линейное преобразование, то каждому базису соответствует матрица nn и матрицы, соответствующие двум базисам, связаны формулой A = A_{: = .}

Пример 4. Билинейная функция на пространстве V – тензор типа (2,0).

Если дана такая функция, то каждому базису сопоставляется её матрица nn, и матрицы билинейной функции в разных базисах связаны формулой В= В: b = b.

Следует заметить, что симметричная билинейная функция и соответствующая квадратичная форма - один и тот же тензор, поскольку их матрицы в любом базисе совпадают.

Пример 5. Пусть В – матрица билинейной функции ранга n в базисе e. Сопоставим этому базису матрицу В . Сделав это для всех базисов, мы получим тензор типа (0,2). Действительно, из E= В, следует В = В() = В(), или = .

Пример 6. Число, не зависящее от выбора базиса – инвариант – можно считать тензором типа (0,0).

Пример 7. Важным тензором типа (1,1) является так называемый символ Кронекера, компоненты которого в некотором базисе составляют единичную матрицу:

=

Формула (2) – принятое обозначение, и мы будем им ниже пользоваться. Если интерпретировать символ Кронекера как линейное преобразование, то это будет тождественное преобразование E, и потому в любом другом базисе этот тензор имеет те же компоненты, составляющие единичную матрицу. Для примера проверим это, используя тензорную символику. Согласно закону преобразования = .

Если определяется формулой (2), то из n слагаемых в правой части (3) равны нулю все, кроме тех, для которых k = l. Поэтому = , а - элементы произведения . Значит, = .

Пример 8. Рассмотрим обобщение билинейной функции – функцию F(x,…x) от p векторов, линейную по каждому из них, если остальные фиксированы. Такие функции называются p-линейными или полилинейными, если число аргументов не уточняется. Разложим каждый из векторов по некоторому базису {e}. Тогда в силу полилинейности

F(x,…,x) = F(e,…, e) = …F(e,…,e) =… …, где коэффициенты …= F(e,…,e) играют ту же роль, что и элементы матрицы билинейной функции. Докажем, что при замене базиса они преобразуются как компоненты тензора типа (1,0). Для этого рассмотрим базис e = e и снова воспользуемся полилинейностью:

F(e,…,e) = F(e,…, e) = _…F(e,..,e),

или = _…, как и требовалось.

Пример 9. Таким же способом можно построить пример тензора любого типа (p,q). При этом полилинейная функция должна зависеть от p векторов и q ковекторов. Значение такой функции на векторах x,…,x и ковекторах y,…,y можно вычислить, разложив векторы по базису {e}, а ковекторы – по его ортогональному базису {f} в пространстве V. Напомним, что базис f,…,f называется биортогональным базису e,…,e если f(e) = .

Если x = e, а g = gf, то аналогично предыдущему получаем F(x,…,x,g,…,g) = …g…g, где = F(e,…,e,p,…,p).

Вспомним, что базис {f} преобразуется матрицей , когда базис {e} преобразуется матрицей . В тензорных обозначениях это записывается как f = f и проверяется так: p(e) = p(e) = = .

Теперь подставим в = F(e,…,e,p,…,p) выражения новых базисных векторов через старые (для обоих базисов e и p) и, как в примере 8, получим закон преобразования коэффициентов, который будет совпадать с законом преобразования (1).

2º. Операции над тензорами.

а) Сложение тензоров и умножение тензора на число.

Складывать можно только тензоры одного типа (p,q). Пусть

a и b -

компоненты двух тензоров одного и того же типа (p,q) относительно произвольного базиса {e}. Сопоставим каждому базису n чисел

с = а + b.

Покажем, что числа с представляют собой компоненты некоторого тензора типа (p,q). Для этого выпишем законы преобразования компонент исходных тензоров при переходе от базиса {e} к базису {e}:

a= … …a,

b = … …b.

Сложив почленно эти неравенства, получаем:

a + b = … …( a + b),