Попов В.В., Мазепа Е.А., Безверхов В.А. - Практикум по алгебр

j) f = x7 ¡ 10x6 + 39x5 ¡ 70x4 + 40x3 + 48x2 ¡ 80x + 32; x0 = 2; k) f = x7 + 11x6 + 48x5 + 100x4 + 80x3 ¡ 48x2 ¡ 128x ¡ 64;

x0 = ¡2:

6.5. Найти кратные корни многочлена f(x) :

a) f = x4 + 3x3 ¡ 14x2 ¡ 12x + 40; b) f = x4 + 2x3 ¡ 7x2 ¡ 20x ¡ 12; c) f = x4 ¡ 2x3 ¡ 19x2 + 68x ¡ 60; d) f = 4x4 ¡ 4x3 ¡ 23x2 + 12x + 36;

e) f = 8x5 ¡ 12x4 ¡ 66x3 + 107x2 ¡ 54x + 9; f) f = 27x5 ¡ 180x3 ¡ 170x2 ¡ 55x ¡ 6:

6.6. Найти условие, при котором многочлен x5 + 5ax3 + b

имеет двойной корень, отличный от нуля.

6.7. Найти условие, при котором многочлен x5 + 10ax3 + 5bx + c имеет тройной корень, отличный от нуля.

7Разложение многочлена на множители. Неприводимые многочлены

Определение 7. Многочлен f(x) положительной степени с коэффициентами из некоторого поля (или кольца) P называ-

ется приводимым над P, если его можно представить в виде

произведения двух сомножителей положительной степени с коэффициентами из P. Если такое представление невозмож-

íî, òî f(x) называется неприводимым над P. Многочлены ну-

левой степени не относят ни к приводимым, ни к неприводимым.

21

a)МногочленПримеры.x2 ¡ 1 приводим над полями Q, R è C, а также над кольцом Z, поскольку x2 ¡ 1 = (x ¡ 1)(x + 1).

b)Многочлен x2 ¡ 2 приводим над полями R è C, но неприво-

äèì íàä Q è íàä Z.

c) Многочлен x2 + 1 приводим над полем C, но неприводим над

Q, R è Z.

Если многочлен f(x) можно представить в виде произведе-

ния трех и более сомножителей положительной степени с коэффициентами из P, то он, очевидно, приводим над P.

Из теоремы Безу легко выводится

Предложение 13. Если многочлен f(x) степени n > 2 над некоторым полем (или кольцом) P имеет в этом поле корень, то он приводим над P.

Приводимые над P многочлены степени > 4 могут не иметь корней в P. Например, многочлен x6 + 1 приводим над R, íî íå

имеет действительных корней. Для многочленов степени 2 è 3 справедливо следующее утверждение

Предложение 14. Многочлен f(x) степени 2 èëè 3 приводим

над некоторым полем (или кольцом) P () f(x) имеет в P хотя бы один корень.

Теорема 4. Пусть f(x) многочлен положительной степени над произвольным полем (или кольцом) P. Тогда f(x) можно

разложить в произведение неприводимых (над P) сомножителей.

Если в теореме 4 многочлен f(x) неприводим, то число сомножителей считается равным единице.

Задачи.

7.1. Разложить на линейные множители (над полем C) многочлены:

22

7.2.Разложить многочлены на неприводимые множители

ñвещественными коэффициентами

7.3. Построить многочлен f(x) наименьшей степени с ве-

щественными коэффициентами по данным корням: a) двойной корень 1, простые корни 2, 3 è 1 + i;

b) тройной корень ¡1 + 2i;

c) двойной корень i, простой ¡1 ¡ i.

8 Основная теорема алгебры

Теорема 5. Всякий многочлен положительной степени с комплексными (в частности, c действительными) коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

Теорема 5 впервые доказана Гауссом в конце XVIII века. Она находит применение не только в высшей алгебре, но и во многих других разделах математики (теория линейных операторов, дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, теория чисел и др.). Долгое время (а часто и в наши дни) она называлась основной теоремой алгебры.

Из теоремы 5 с помощью теоремы Безу легко выводятся теоремы 6 и 7:

Теорема 6. Всякий многочлен f(x) степени n > 1 над полем C

комплексных чисел разлагается на линейные множители, т.е. представим в виде f(x) = a0(x¡®1)(x¡®2) : : : (x¡®n), ãäå a0

старший коэффициент, а ®1, ®2, : : :, ®n комплексные корни многочлена f(x).

23

Теорема 7. Пусть f(x) многочлен положительной степени

с комплексными коэффициентами. Тогда число его комплексных корней (с учетом их кратности) равно степени много- члена f(x).

Следствие. Многочлен f(x) положительной степени над полем C неприводим () степень этого многочлена равна 1, ò.å. f(x) = a0x + a1 при некоторых a0; a1 2 C, a0 =6 0.

9 Формулы Виета

Пусть дан многочлен f(x) со старшим коэффициентом a0:

f(x) = a0xn + a1xn¡1 + a2xn¡2 + : : : + an¡1x + an;

и пусть ®1; ®2; : : : ; ®n его корни. Тогда f(x) представим в виде

f(x) = a0(x ¡ ®1)(x ¡ ®2) : : : (x ¡ ®n):

Перемножая скобки, стоящие справа, приводя подобные члены и сравнивая с коэффициентами многочлена, получим формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни. Эти формулы называются формулами Виета:

a1 = ¡(®1 + ®2 + : : : + ®n)=a0;

a2 = ®1®2 + ®1®3 + : : : + ®1®n + ®2®3 + : : : + an¡1®n)=a0; a3 = ¡(®1®2®3 + ®1®2®4 + : : : + ®n¡2®n¡1®n)=a0;

: : : : : :

an = (¡1)n®1®2 : : : ®n=a0:

Пример. Найти многочлен третьей степени, имеющий простым корнем число 2 и двукратным корнем число ¡3.

Считая, что старший коэффициент a0 многочлена f(x) равен 1, по формулам Виета получим

®1 = ¡(2 ¡ 3 ¡ 3) = 4;

24

Таким образом, искомый многочлен будет таким:

f(x) = x3 + 4x2 ¡ 3x ¡ 18:

Задачи.

9.1.Составить уравнение 4-й степени, корнями которого являются числа 2; 12; ¡2; ¡12.

9.2.Определить a; b è c так, чтобы они были корнями урав-

нения

x3 ¡ ax2 + bx ¡ c = 0:

9.3. Числа x1, x2, x3 являются корнями уравнения x3 ¡ 2x2 +4x¡10 = 0. Построить уравнение, корнями которого будут

числа x21, x22, x23.

9.4.Найти сумму квадратов и сумму кубов корней урав-

нения x3 ¡ 4x3 + 3x2 ¡ x + 5 = 0.

9.5.Найти такое ¸, чтобы один из корней уравнения x3 ¡ 7x + ¸ = 0 равнялся бы удвоенному другому корню.

9.6.Сумма двух корней уравнения 2x3 ¡ x2 ¡ 7x + ¸ = 0 равна 1: Найти ¸.

9.7.Найти сумму квадратов корней уравнения 2x4 ¡ x3 +

12x + 11 = 0.

9.8.Составить уравнение, корни которого равны квадратам корней уравнения x3 + 6x ¡ 7 = 0.

9.9.Показать, что многочлен f(x) тогда и только тогда делится на многочлен g(x), когда любой комплексный корень многочлена g(x), кратность которого равна k > 1, является корнем

f(x) кратности не меньшей k.

25

10 Многочлены с действительными коэффициентами

Лемма 2. Пусть f(x) многочлен с действительными коэффициентаìè è z комплексное число. Тогда:

a) f(z) = f(z); b) åñëè z корень f(x), òî è z корень f(x).

Лемма 3. Пусть f(x) многочлен с действительными коэффициентами и z = a + bi его комплексный корень, где a; b 2 R è b =6 0. Тогда найдется такой многочлен g(x) с действительными коэффициентами, что f(x) = [(a ¡ x)2 + b2] ¢ g(x).

Из леммы 3 и теоремы Безу легко выводится

Теорема 8. Всякий многочлен f(x) степени n > 1 над полем

R действительных чисел разлагается на множители первой

и второй степени. При этом число сомножителей может быть равно 1.

Следствие. Многочлен f(x) положительной степени над полем R неприводим () выполнено одно из следующих условий:

a) f(x) = a0x + a1 при некоторых a0; a1 2 R, a0 =6 0;

b) f(x) = a0x2 + a1x + a2 при некоторых a0; a1; a2 2 R; причем

старший коэффициент a0

D = a21 ¡ 4a0a2 отрицателен.

11 Рациональные корни многочлена

p

Предложение 15. Пусть x0 = q корень многочлена

f(x) = a0xn + a1xn¡1 + : : : + an¡1x + an

с целыми коэффициентами. Пусть дробь pq несократима. То- ãäà q делитель старшего коэффициента a0, à p делитель свободного члена an. При этом можно считать, что q > 1.

26

Ïðè q = 1 предложение 15 дает

Следствие. Пусть x0 целый корень многочлена f(x) = a0xn + a1xn¡1 + : : : + an¡1x + an с целыми коэффициентами.

Тогда x0 делитель свободного члена an.

p

Предложение 16. Пусть x0 = q корень многочлена

f(x) = a0xn + a1xn¡1 + : : : + an¡1x + an

с целыми коэффициентами и дробь pq несократима. Тогда для любого целого числа k число f(k) делится на p ¡ kq.

При выводе предложения 16 следует разложить f(x) ïî ñòå-

пеням двучлена (x ¡ k): f(x) = b (x ¡ k)n + b (x ¡ k)n¡1 + : : : +

0 1 µp¶

bn¡1(x ¡ k) + bn и использовать равенства f(k) = bn, f q = 0.

Критерий Энзенштейна. Пусть

f(x) = a0xn + a1xn¡1 + : : : + an¡1x + an

многочлен с целыми коэффициентами, для которого найдется такое простое p, на которое делятся все коэффициенты много-

члена кроме старшего коэффициента a0. Пусть также свобод- íûé ÷ëåí an не делится на p2. Тогда многочлен f(x) неприводим

над кольцом Z целых чисел, а также над полем Q рациональных чисел.

Пример. Многочлен xn ¡ 2 неприводим над Q è íàä Z ïðè n = 2; 3; 4 : : :. Это вытекает из критерия Энзенштейна при p = 2.

Задачи.

11.1. Найти рациональные корни следующих многочленов:

a) x3 ¡ 6x2 + 15x ¡ 14;

b) 24x5 + 10x4 ¡ x3 ¡ 19x2 ¡ 5x + 6;

27

c) x5 ¡ 2x4 ¡ 4x3 + 4x2 ¡ 5x + 6; d) 24x4 ¡ 42x3 ¡ 77x2 + 56x + 60; e) x5 ¡ 7x3 ¡ 12x2 + 6x + 36;

f) 6x4 + 19x3 ¡ 7x2 ¡ 26x + 12; g) x4 ¡ 2x3 ¡ 8x2 + 13x ¡ 24;

h) 10x4 ¡ 13x3 + 15x2 ¡ 18x ¡ 24:

11.2. Доказать, что следующие многочлены неприводимы над полем рациональных чисел:

a) x4 + 8x3 + 12x2 ¡ 6x + 2; b) x5 ¡ 12x3 + 36x ¡ 12:

12 Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть различным точкам x0; x1; : : : ; xn числовой прямой постав- лены в соответствие значения y0; y1; : : : ; yn 2 R. Тогда существует единственный многочлен Ln(x) степени не выше n, принимающий в точках xi значения yi : Ln(xi) = yi; ïðè i = 0; 1; : : : ; n. Этот многочлен можно представить в виде

Задачи.

12.1.Пусть дана последовательность чисел x0; x1; : : : ; xn: Построить многочлен, который в точке xk принимал бы значе- íèå 1, а в остальных точках xi ïðè i 6= k равнялся бы нулю.

12.2.Построить многочлен, который в точках xi; i = 0; n принимал бы значения yi, а его производная значения yi0.

12.3.Построить полином по заданной таблице значений:

Приложение 1. Кольца и поля

Пусть P некоторое множество. Говорят, что на P опреде-

лена алгебраическая операция, если любым двум элементам x; y 2 P сопоставлен (по какому-либо правилу) ровно один эле-

ìåíò z 2 P, который называется результатом применения этой операции к (упорядоченной) паре элементов x; y. Обычно операции обозначаются каким-либо символом ("+", "¢", "?", "¤" è ò.ï.). Åñëè "¤" символ операции, то через x ¤ y обозначается результат ее применения к паре элементов x; y.

Операция ¤ называется ассоциативной, если (x ¤ y) ¤ z = x ¤ (y ¤ z) для любой тройки элементов x; y; z 2 P; операция коммутативна, если x ¤ y = y ¤ x для любых x; y 2 P.

Примеры.

1) Операция сложения действительных чисел коммутативна и ассоциативна.

2) Операция умножения действительных чисел коммутативна и ассоциативна.

3) Операция вычитания действительных чисел не является ни коммутативной, ни ассоциативной, поскольку равенства

x ¡ y = y ¡ x è (x ¡ y) ¡ z = x ¡ (y ¡ z)

выполнены не при всех x; y; z 2 R:

4)В примерах 1) и 2) множество R действительных чисел можно заменить на Z, íà Q, íà R, а также на C.

5)Деление на множестве Q рациональных чисел не является

операцией, поскольку не определен, например, результат деления числа 5 íà 0.

Замечание. Рассмотренные выше операции называются бинарными (так как зависят от двух операндов). В алгебре изуча- ются также унарные операции (зависящие от одного операнда), тернарные операции (зависящие от трех операндов) и т.д. Примеры унарных операций на R: x2, sin x. Примеры тернарных

29

операций на R: x + y + z, sin(xy + z). В дальнейшем будут рассматриваться только бинарные операции.

Пусть на множестве P задано две операции: "+"è "¢" (условно называемые сложением и умножением). Тогда P называют

кольцом, если выполняются следующие аксиомы:

(1) (x + y) + z = x + (y + z) äëÿ âñåõ x; y; z 2 P (ассоциативность

сложения);

(2) найдется такой элемент 0 2 P, ÷òî x + 0 = x = 0 + x äëÿ âñåõ x 2 P (существование нуля);

(3) для любого элемента x 2 P найдется такой (зависящий от x) элемент y 2 P, ÷òî x + y = 0 (y называют элементом, противоположным к элементу x и обозначают через ¡x);

(4) x + y = y + x для любых x; y 2 P (коммутативность сложе-

íèÿ);

(5) x(y + z) = xy + xz è (x + y)z = xz + yz для любых x; y; z 2 P

(законы дистрибутивности).

В кольце могут выполняться некоторые дополнительные аксиомы. Кольцо называют ассоциативным, если умножение в нем ассоциативно, т.е. выполнена аксиома

(6) (xy)z = x(yz) для любых x; y; z 2 P. Кольцо P коммутативно, если

(7) xy = yx äëÿ âñåõ x; y 2 P;

Кольцо с единицей это такое кольцо, в котором выполняется аксиома

(8) найдется такой элемент e 2 P, ÷òî e ¢ x = x ¢ e = x äëÿ âñåõ x 2 P. Элемент e называется единичным и обычно обозначается символом 1 (хотя он может и не равняться натуральному числу 1).

Множество P с операциями сложения и умножения называ-

ется полем, если оно удовлетворяет аксиомам (1) (8), а также аксиоме

(9) для любого элемента x 2 P, x =6 0, существует элемент y 2 P с условием xy = 1.

Элемент y из аксиомы (9) называют обратным для элемента x

30