2.7.3. Граничні умови для потенціалу

Розглянемо граничні умови для потенціалу електростатичного поля. Згадаємо співвідношення (2.48) , яке в прямокутній системі координат, стосовно площини ділянки межі, запишемо таким чином:

. (2.72)

Тобто

(2.73)

Оберемо координати таким чином, що вісь хспрямовано вздовж межі двох середовищ, а вісьу– співпадає з напрямком нормалі до межі (рис. 2.12) . Тоді, з урахуваннямта (2.71) отримаємо:

(2.74)

З урахуванням, що τ ,маємо:

(2.75)

. (2.75а)

e₁

e₂

Рисунок 2.12. Складники вектора на межі двох середовищ

Відповідно до (2.75) з урахуванням (2.74) на межі розподілу середовищ для :

. (2.76)

З цього рівняння та на підставі граничних умов для тангенціальних складників вектора , який подано як функцію потенціалу, отримаємо:

.(2.77)

Рівняння (2.77) свідчить, що потенціал на межі двох середовищ – неперервна функція. Нормальні складники , можливо подати також через, з врахуванням (2.75) та (2.75а):

. (2.78)

Далі з’ясуємо граничні умови, якщо одна з поверхонь – ідеальний провідник.

2.7.4. Граничні умови на поверхні ідеального провідника

Практичне значення має ситуація, коли одне з середовищ є провідник, наприклад антена, яка межує з повітрям. Відмінність провідника та діелектрика є в тому, що провідник має вільні заряди (ідеальним є провідник в якому кількість вільних зарядів нескінченно велика). Внесення провідника в електростатичне поле, спричиняє перерозподіл зарядів, тобто, негативні заряди зосереджено на поверхні провідника, яка зорієнтована назустріч полю, а позитивні заряди – на протилежній. Тоді всередині провідника виникає поле, спрямоване назустріч до зовнішнього. Перерозподіл зарядів буде тривати доки поле, яке зосереджено всередині, не компенсує зовнішнє в межах об’єму провідника. Отже ідеальний провідникмає достатню кількість зарядів, щобкомпенсувати зовнішнє полеу межах всього об’єму провідника. Тому сумарне поле всередині ідеального провідника дорівнює нулю. Для тангенціальних складників на підставі (2.71), маємо:

.

Отже, якщо й складникита. Для нормальних складників векторана підставі (2.65), маємо:

. (2.79)

Таким чином, силові лінії електростатичного поля завжди спрямованіза нормаллюдо поверхні ідеального провідника.

У компактній формі граничні умови електростатики наведено в табл. 2.1.

Таблиця 2.1 Граничні умови електростатики

Складники поля	Базові співвідношення	Граничні умови
		У загальній формі	З ідеальним провідником
Нормальний n		,, .
Тангенціальний τ		,.

2.8. Поняття електричної ємності. Енергія електростатичного поля

Нагадаємо, який компонент електричного кола може накопичуватиелектричнуенергію. Цей елемент –конденсатор. Відомо, що основний функціональний параметр конденсатора електрична ємність.

Електричну ємність(далі ємність) визначають, як відношення зарядудо прикладеної до обкладинок конденсатора напруги U, або різниці потенціалів:

. (2.80)

За одиницю ємності прийнято ємність конденсатора, в якому накопичено заряд 1 Кл за умови, що до його обкладинок прикладено напругу 1 В. Ця одиниця має назву фарад [Ф]:1 Ф=1 Кл/1 В.

Визначимо ємність плаского конденсатораза формулою (2.80)) з урахуванням, що напруга (різница потенціалів) між обкладинками на відстаніdдорівнюєEd,а заряд визначимо за формулою закону Гаусса в інтегральній формі (2.19) та (2.6)

. (2.81)

Для тіл сферичної форми: ,тому електрична ємність такого тіла:

, (2.81а)

де – радіус сфери.

З формул (2.81) та (2.81а) маємо, що ємність будь-яких провідників залежить від їх розмірів, форми, властивостей середовищ.

Електричний конденсатор (як будь-який провідник із вільними електричними зарядами) накопичує електричну енергію.

Відомо, що для зарядження тіла від нульового потенціалу до необхідно виконати роботу:. (2.82)

Відповідно, електрична енергія зарядженого конденсатора дорівнює роботі, яку необхідно виконати, щоб його зарядити:

. (2.83)

Енергію електричного поля можна також навести, як функцію величин, що характеризують це поле: Е D.

Проаналізуємо однорідне електричне поле плаского конденсатора

Перетворимо формулу (2.83), з урахуванням формул для ємності конденсатора з відстанню між пластинами d,(2.81)та різниці потенціалів між його обкладинками.

Тоді:

. (2.84)

З урахуванням першого матеріального рівняння (2.6), маємо

. (2.84а)

Або узагальнено

. (2.85)