2.3.3. Перетворення (теорема) Гаусса-Остроградського

З’ясуємо взаємозв’язок сумарного заряду в об’єміз об’ємною густиною зарядів. Починаємо із визначення зарядуз відомих формул (2.19):

,(2.3-24)

та з урахуванням (2.35)

. (2.36)

Отже отримаємо:

. (2.37)

Це співвідношення названо перетворення (теорема) Гаусса-Остроградського – потік вектора через замкнену поверхню дорівнює інтегралу від дивергенції цього вектора за об’ємом, обмеженим цією поверхнею. Тобто, воно пов’язуєоб’ємний інтеграл зповерхневим,що дозволяє змінювати порядок інтегрування.

2.4. Робота сил та потенціал електростатичного поля

З’ясуємо ситуацію, за якої в електростатичному полі точкового заряду в деякому просторі переміщується пробний зарядза траєкторією(рис. 2.6).

Рисунок 2.6. Траєкторія руху заряду в полі, що створено зарядом

За законом Кулона на заряд діє сила що визначається за формулою (2.1) (замінено на,– на):

.

Елементарна робота цієї сили на ділянці шляху(рис. 2.6):

. (2.38)

_{Повну роботу сил переміщення заряду} з точкив точкувизначають інтегруваннямвздовж шляху

.(2.39)

Звідки випливає, що робота сил електростатичного поля не залежить від форми траєкторії, а визначена найкоротшою відстанню між початковою та кінцевими точками. Сили, робота яких не залежить від траєкторії, називають консервативними.

Цей висновок для точкового заряду можна узагальнити для будь-якого електростатичного поля. Розглянемо роботу сил електростатичного поля з переміщення заряду вздовж замкненої траєкторіїabcd (рис 2.7). У даному випадку роботу визначимо інтегруванням вздовж замкненого контуру . Проявом сили, яка здійснює роботу, є напруженість поля. В електричному полі цю силу характеризує вектор

, де. (2.40)

Такий інтеграл називають циркуляцією вектора . З рис. 2.7 маємо:

. (2.40а)

Рисунок 2.7. Замкнений контур переміщення заряду в полі

У разі переміщення заряду вздовж визначеного контуру, на ділянці a-b-cелектростатичне поле витрачає енергію, а наc-d-aнавпаки заряд віддає енергію полю. Оскільки робота не залежить від форми траєкторії, то можна стверджувати, що

, (2.40б)

де i– відстані, що беруть свій початок і кінець, відповідно у однакових точках (а тас). Цей інтеграл в енергетичному аспекті відповідаєпринципу збереження енергії.

Робота з перенесення заряду є лише функцією відстані між початковою та кінцевими точками, тому можливо ввести скалярний параметр поля, який називають потенціалом. Різниця потенціалів між двома точками характеризує роботу сил електростатичного поля (із протилежним знаком) з перенесення одиниці кількості електрики із однієї точки в іншу:

. (2.41)

Одиниця вимірювання потенціалу – вольт[B]. На відміну від напруженості поля, яку визначено у конкретній точці, потенціал визначають різницею значень у двох точках, тобто це є скалярна величина. Уявімо, що точка нескінченно віддалена, тобто потенціал в ній дорівнює нулю: відстань до т.,, тодіхарактеризує роботу з переміщення пробного зарядуіз нескінченності в дану точку

, (2.41а)

де С – стала інтегрування, яка враховує початкові умови.

Для поля сукупності зарядів сумарний потенціал відповідно до принципу суперпозиції (якщо середовище лінійне) дорівнює сумі потенціалів:

. (2.41б)

Для електростатичного поля . Таким чином електростатичне поле визначають векторними величинамитай скалярною величиною, яка є допоміжною величиною, що також характеризує електричне поле.