4.8. Явище затримання електродинамічних потенціалів

Функцією, що полегшує розв’язувати задачі електродинаміки, є потенціал. Нагадаємо, що в електростатиці формула для потенціалу (2.60) має вигляд:

, (4.54)

а для магнітного поля постійного струму – векторний магнітний потенціал (3.54а):

, (4.55)

де – відстань від джерела до точки спостереження в декартовій системі координат.

Останні рівняння отримано в результаті розв’язування рівняння Пуассона для електростатики та за аналогією для магнітного поля постійного струму, відповідно:

, (4.56)

, (4.57)

де – оператор Лапласа (лапласіан).

З іншого боку:

, (4.58)

. (4.59)

Спробуємо визначити функцію , якщо струм і заряд є змінними за часом. Нагадаємо витоки появи вектора . З векторного аналізу відомо: якщо , то існує деякий вектор, ротор якого дорівнює вихідному, тобто (див. підрозділ 3.3).

Таким чином, якщо відомі (4.54) та(4.55), можна визначити(4.58) та(4.59), відповідно. Визначимо напруженість електричного поля для ситуації, якщо ці процеси змінні в часі (для змінного джерела). На підставі другого рівняння Максвелла:

, (4.60)

з урахуванням (4.59), можемо записати:

. (4.61)

Оскільки операція ротор є операцією диференціювання за координатами, то (4.61) можна записати як

. (4.62)

З векторного аналізу відомо також, якщо ротор будь-якого вектора дорівнює нулю, то існує скалярна функція, наприклад ,градієнт якої дорівнює цьому вектору, тобто:

. (4.63)

Підтвердимо це положення:

.

Якщо , то (4.63) співпадає із співвідношенням:або (4.58), за умови. Використаємо цю заміну, тому що обмежень на вибір знаку немає:, й отримаємо:

. (4.64)

Звідси випливає, що в динамічному процесі на відміну від статичного режиму, напруженість електричного поля визначає не лише електричний потенціал, але й змінний за часом векторний магнітний потенціал.

Тепер встановимо зв’язок ііз параметрами першоджерела поля.

У першому рівнянні Максвела, в якому (табл. 4.2 – перший рядок – без густини стороннього струму):

. (4.65)

Замінимо та, на підставі (4.59) та (4.64):

. (4.66)

На підставі тотожності векторного аналізу , перестановки доданків та врахуванням можливості зміни порядку диференціювання отримаємо:

. (4.67)

Зауважимо, що в рівнянні (4.67) є величина, пов’язана зі швидкістю поширення електромагнітної хвилі :. Це рівняння має нескінченну множину розв’язків, тому що у ньому дві невідомі величиниі .

Щоб розв’язати спростимо його; для цього припустимо що:

. (4.68)

Це співвідношення називають калібрувальним перетворюванням Лоренца. За такої умови (4.67) спрощується:

. (4.69)

Звідки випливає, що векторний потенціал визначає густина струму.

До речі, якщо , то отримаємо рівняння для магнітного поля постійного струму (див. (4.57).

Тепер встановимо зв’язок потенціалу з джерелом через густину заряду.

Для цього у третє рівняння Максвелла (див. табл. 4.2):

, (4.70)

з урахуванням першого матеріального рівняння (п’яте – Максвелла : табл. 4.2) підставимо значення із (4.64), й отримаємо:

. (4.71)

Змінимо порядок диференціювання у (4.71):

. (4.72)

З врахуванням, що з (4.68) , а також що за правилами застосування оператора Гамільтона запишемо:

. (4.73)

Формули (4.69) та (4.73) однакові за формою й мають назву – рівняння Даламбера.

Розв‘язок цього рівняння є найлегшим для випадку точкового заряду. За цих умов у сферичній системі координат не залежить від кутів та визначається лише відстаннюr від точкового заряду до точки спостереження (для спрощення запису далі аргумент не показуємо, наприклад).

Запишемо лапласіан у сферичній системи координат:

.

Тобто з врахуванням залежності від відстані r, після диференціювання та перестановки :

. (4.74)

Тоді рівняння Даламбера:

. (4.75)

Перетворимо ліву частину цього рівняння із введенням нової змінної . Диференціюванням заr отримаємо:

(4.76)

та

. (4.77)

Підставимо (4.76) та (4.77) у (4.75) з урахуванням , й отримаємо:

. (4.78)

формула (4.78) – хвильове рівняння (докладніше – див. розділ 6) – це неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних.

Нехай , тоді (4.78) трансформується в однорідне рівняння:

. (4.79)

Формальним розв‘язком цього рівняння є:

, (4.80)

де – швидкість поширення електромагнітної хвилі вздовж напряму; для вільного простору;,– деякі функції.

З урахуванням заміни отримаємо

. (4.81)

Звідки маємо, що аргументи функцій івідрізняються відносно аргументу функціїна значення.

Хвильові процеси іпоширюються зі швидкістю v, абоc – у вільному просторі, в протилежних напрямах із однаковими значеннями незалежно від просторових кутів в усіх фіксованих точках r.

Таким чином, розв‘язок (4.81) описує дві сферичні хвилі, одна з яких «виходить» із випромінювача у нескінченність, а друга – «повертається». На рис. 4.5 обвідна другої хвилі показана як відбита (зворотна, або вторинна) від границі розподілу середовищ.

Рисунок 4.5. Обвідні прямої та відбитої хвиль

У нескінченому однорідному середовищі існують тільки хвилі, що поширюються від випромінювача, так звані «хвилі, що падають» (прямі, або первинні хвилі). Через це для подальшого аналізу залишимо перший доданок:

, (4.82)

де – поки ще невідома функція часу.

З електростатики відомо, що потенціал визначають як:

. (4.83)

Порівнюючи (4.82) і (4.83) одержимо, що одиниці вимірювання лівої та правої частин співпадають [В], якщо

. (4.84)

Тобто, це електричний потенціал змінного струму:

(4.85)

Таким чином, потенціал зареєстрований на відстаніr, в момент часу t визначають значенням заряду q, який передує спостереженню, тобто у момент часу . Тому потенціалназиваютьзатриманим на . Тобто «наслідок» затримано відносно «причини», що збуджує процес.

Перейдемо від точкового заряду до об’ємного з густиною .

Тоді електричний потенціал:

, (4.86)

де r – відстань до точки спостереження .

Аналогічно для векторного магнітного потенціалу

. (4.87)

Для гармонічних процесів зручно користуватися комплексною формою функцій

У комплексній формі:

,

де – коефіцієнт фази, λ – довжина хвилі.

У комплексній формі електричний затриманий потенціал, є таким:

, (4.88)

– векторний магнітний затриманий потенціал, є таким:

. (4.89)

Множник – характеризує затримання за часом «наслідків» φ та від «причин», відповіднота.

Таким чином, в динамічному режимі електричний та магнітний векторний потенціали є затриманими.