4.1. Закон збереження електричного заряду

Електричний струм через замкнену поверхню – це швидкість зміни кількості зарядув об‘ємі, обмеженому поверхнею.

Для пояснення закону збереження електричного заряду звернемось до моделі деякого фізичного тіла, яке має об’єм , обмежений поверхнею(рис. 4.1). Нехай це тіло має деякий заряд. Вважаємо, що за часом відбувається змінення цього заряду. В момент часузначення заряду –, а в момент–, та. Тобто частина зарядів відійшла з цього об’єму, але вони на основі закону збереження матерії не зникли – утворили електричний струм. Математично це може бути представлено як похідна за часом:

. (4.1)

Знак «–» означає, що заряд із зростанням часу зменшується, тобто якщо , то, тобто величинає позитивна.

Рисунок 4.1. Модель спливання заряду

Струм через одиницю поверхні називають густиною струму, вона є величиною векторною:

, (4.2)

де – нормаль до площини.

На підставі (4.2) сила струму:

. (4.3)

Формула (4.3) показує, що електричний струм можна трактувати як потік зарядів і тому на основі (4.1) та (4.3) маємо:

. (4.4)

Формула (4.4) описує закон збереження заряду в інтегральній формі: будь-яке змінення заряду всередині деякого об’єму за часом супроводжується спливанням відповідної кількості зарядів через поверхню, що обмежує цей об’єм.

Проаналізуємо ці процеси в конкретній точці об’єму за умов змінення заряду. Скористаємось перетворенням Гаусса-Остроградського (2.37) стосовно (4.4):

. (4.5)

Із застосуванням формули , (4.4) та (4.5) маємо:

. (4.6)

За умов незмінної поверхні, похідну за часом вважають частинною похідною. У формулі (4.6) інтегрування виконують за однаковою змінною є допустиме змінення порядку інтегрування та диференціювання, отримаємо співвідношення:

. (4.7)

Рівняння (4.7) описує закон збереження заряду в диференціальній формі: дивергенцію густини струму визначає похідна за часом густини заряду в конкретній точці, з протилежним знаком.

Припустимо, що у (4.7), , тоді

. (4.8)

Це співвідношення означає, що алгебраїчна сума струмів у вузлі дорівнює 0, тобто це положення першого закону Кірхгофа.

Оскільки кількість вільних зарядів у середині об’єму характеризує провідні властивості середовища, то створений цими зарядами струм має назву струм провідності.

Струм провідності починається та закінчується у точках із змінною у часі густиною заряду, а співвідношення (4.8) вказує на вихровий характер постійного струму, тому для його протікання електричне коло має бути гальванічне замкнутим, тоді як кола змінного струму допускають розрив кондуктивного зв’язку. Це означає, що у колі змінного струму, окрім струму провідності є струм іншої природи – струм в діелектрику, його називають струм зміщення (див. підрозділ 4.2).

У розділах 2 та 3 наведено дані щодо електричного та магнітного полів без їх взаємозв’язку, але такий зв’язок вочевидь повинен бути тому, що першоджерелом електричного та магнітного полів є електричний заряд:

,

.

Тобто характеристики полів (електричного та магнітного) та їх джерела повинні бути взаємно пов’язані та описані відповідною системою рівнянь. Легко запам‘ятати, що їх повинно бути шість, адже кожен вектор та в просторі має три проекції. Ця система складена Дж. Кларком Максвеллом (1831-1879) у 1873 р. На підставі отриманих раніше законів та положень: Ампера (повного струму), Фарадея, Гаусса та інших. В роботі Максвелла була складна форма запису рівнянь. Сучасний вигляд вони набули в працях Г. Герца, Л. Лоренца, О. Хевісайда.