5.2. Теорема Пойнтінга для гармонічних процесів (у комплексній формі)

Якщо процеси можна описати гармонічною функцією, то зручно використати комплексні та комплексно-спряжені величини.

Відомо, що дійсна частина – напівсума комплексної та комплексно-спряженої величин.

Для вектора напруженості електричного поля:

. (5.19)

Для вектора напруженості магнітного поля:

. (5.20)

Тоді вектор Пойнтінга:

(5.21)

З врахуванням (5.19) і (5.20) та після перестановки маємо

. (5.22)

Таким чином процес перенесення енергії гармонічного електромагнітного поля визначено двома дійсними доданками: перший доданок незмінний за часом, другий – змінюється з подвійною частотою.

Перший доданок визначає середнє за період значення густини потужності, тобто:

. (5.23)

Другий доданок – коливальний складник вектора Пойнтінга:

(5.24)

Середнє за період значення цього складника дорівнює нулю.

Таким чином, за умов гармонічного поля використовують комплексний вектор Пойнтінга, який має дійсний та уявний складники, відповідно:

(5.25)

та має властивість:

(5.26)

Є багато спільного між вектором Пойнтінга у комплексній формі та комплексною потужністю гармонічного коливання, відомого з курсу теорії електричних кіл. Якщо комплексний вектор Пойнтінга є уявним, то це означає, що електромагнітний процес у середньому за період не переносить потужність. Тобто уявному значенню комплексного вектора Пойнтінга аналогією є реактивна потужність електричного кола.

5.3. Уявлення процесу передавання енергії

Процес передавання енергії з використанням вектора Пойнтінга з’ясуємо на прикладі двопроводової лінії, вздовж якої енергія від джерела ЕРС передається в резистивне навантажувальне коло (рис. 5.3а). Орієнтовне зображення силових ліній складників векторів електромагнітного поля танаведено на рис. 5.3б.

а б

Рисунок 5.3. Поширення електромагнітної енергії : а– еквівалентна електрична схема, б – уявлення формування електромагнітного поля двопроводової лінії

Ці складники «формують» вектор Пойнтінга, який орієнтовано вздовж ліній від генератора до навантажувального кола.

Потужність визначимо як

.

Тобто потужність передає електромагнітне поле, а провідники виконують функцію «рейок», вздовж яких поле поширюється.

5.4. Лема Лоренца

Лема Лоренца встановлює зв’язок між сторонніми джерелами у двох різних точках вільного простору і електромагнітним полем, які створюють ці джерела.

Нехай деяка сукупність гармонічних сторонніх струмів утворює електромагнітне поле з комплексними амплітудами (), які описує система рівнянь Максвелла

, (5.27)

. (5.27а)

Існує також інша група сторонніх струмів, які створюють електромагнітне поле з напруженостями,, які також описує в система рівнянь Максвелла:

, (5.28)

. (5.28а)

Помножимо скалярно (5.27) на , та (5.28а) на та віднімемо другу рівність від першої. В результаті отримаємо:

. (5.29)

Тепер помножимо скалярно (5.27а) на , та (5.28) ната віднімемо друге рівняння від першого. В результаті отримаємо:

. (5.30)

Додамо рівняння (5.29) та (5.30) й отримаємо співвідношення

,(5.31)

яке описує лему Лоренца в диференціальній формі.

Векторні добутки та– взаємні вектори Пойнтінга двох незалежних електромагнітних процесів.

Також можлива інтегральна форма леми Лоренца. Щоб її отримати припустимо, що маємо об’єм , обмежений поверхнею. Після інтегрування (5.31) за об’ємом та застосування перетворення (теореми) Гаусса-Остроградського, отримаємо

(5.32)

Таким чином отримано співвідношення (5.31), (5.32), які й визначають взаємний зв’язок потужностей електромагнітного поля, створеного двома незалежними джерелами.