8.1.2. Закони Снелліуса

Нехай на межу двох діелектриків падає пласка лінійно поляризована хвиля, трансформацію якої можна описати гармонічними законами:

, (8.1)

, (8.2)

, (8.3)

де характеризує напрям поширення хвилі.

Згадаємо розв’язок хвильового рівняння із заміною на:

.

У ситуації поширення хвилі в середовищі без втрат (тобтота, відповідно,) маємо:

,

або у комплексній формі:

.

Нагадаємо закони Снелліуса:

Рисунок 8.2. Обґрунтування законів Снелліуса

За рис. 8.2 запишемо:

, (8.4)

_, (8.5)

. (8.6)

Після підстановки (8.4)...(8.6) у (8.1)...(8.3), відповідно, отримаємо:

, (8.7)

, (8.8)

. (8.9)

Всі ці складники на межі (тобто за ) визначаємо за граничними умовами:

. (8.10)

Тоді вони матимуть вигляд:

. (8.11)

Співвідношення (8.11) є слушним для будь-яких значень, а це можливо, якщо показники степенів дорівнюють одне одному, тобто:

. (8.12)

За однакових середовищ на підставі перших двох компонентів (8.12) маємо:

,

тобто

, (8.13)

отже, кут падіння дорівнює куту відбивання – перший закон Снелліуса.

За другим законом Снелліуса – відношення синусів кутів падіння і заломлення обернено пропорційне до відношення коефіцієнтів відповідних середовищ, що випливає з рівності першого та останнього компонентів (8.12)):

. (8.14)

В цьому випадку коефіцієнти мають сенскоефіцієнтів заломлення :

.

Для середовища без втрат :

. (8.14а)

За умов немагнітних середовищ (тобто, якщо ), маємо:

. (8.14б)

Зв’язок між амплітудами хвиль, що падає, заломленої та відбитої хвилі встановлюють коефіцієнтами відбиття та заломлення, які мають назву коефіцієнти Френеля.

Коефіцієнт відбиття хвилі R (від англ. reflection – «відбиття»):

. (8.15)

Коефіцієнт проходження хвилі T (від англ. transition – «проходження»):

. (8.16)

Визначимо коефіцієнти Френеля через параметри відповідних середовищ з врахуванням кутів падіння, заломлення та відбивання.

З’ясуємо дві ситуації: вектор зорієнтовано перпендикулярно площини падіння та паралельно площини падіння. Вплив орієнтації векторів на загальну картину поля ілюструє рис. 8.3.

Рисунок 8.3. Картина поля з різною орієнтацією вектора :

а – вертикальна, б – горизонтальна

Вектори побудовано на підставі принципу дзеркального відображення. Картини поля є різними для різних ситуацій орієнтації векторів та, тому слід окремо їх аналізувати.

8.2. Похиле падіння електромагнітної хвилі на межу двох середовищ

8.2.1. Вектор зорієнтовано перпендикулярно площині падіння

Процес падіння хвилі за умови орієнтації вектора Е перпендикулярно площині падіння наведено на рис. 8.4.

Рисунок 8.4. Процес падіння електромагнітної хвилі з вектором Е, розташованим перпендикулярно площині падіння

Як відомо, на межі двох середовищ значення тангенціальних складників (рис.8.4) в цих середовищах однакове:

,

тобто на межі (), маємо:

. (8.17)

За умови відсутності поверхневого струму на межі також маємо:

,

Тобто проекції на осі z

, (8.18)

або

. (8.18а)

З урахуванням отримаємо з (8.18) та (8.18а):

. (8.19)

На підставі (8.15) та (8.16) після перетворень (8.17) і (8.19) отримаємо:

. (8.20)

Після розв’язання системи (8.20) для вектора , перпендикулярного площині падіння, отримаємо коефіцієнти Френеля (проходження та відбиття, відповідно):

, (8.21)

. (8.22)