05-02-2013_00-29-55 / Kinematika kryvoshypno-shatunnogo mechanizmu

Кінематика центрального кривошипно-шатунного механізму

Задача. Кривошип кривошипно-шатунного механізму обертається із сталою кутовою швидкістю . Довжини кривошипа і шатуна однакові і дорівнюють (див. рис. 1).

Знайти швидкість і прискорення повзуна .

Дано: (), .

Знайти: .

Рис. 1. Вихідна схема.

Р о з в ’ я з а н н я

1. Знаходження швидкості

І спосіб (за теоремою Грасгофа)

Спочатку за теоремою Ейлера знайдемо швидкість точки : .

За теоремою Грасгофа маємо

,

звідки отримаємо

.

ІІ спосіб (використання формул кінематики точки)

Знайдемо з рис. 1 координату точки :

.

Шляхом диференціювання цього виразу за часом отримаємо

.

Знак «-» вказує на те, що вектор швидкості точки напрямлений в від’ємний бік осі .

ІІІ спосіб (використання миттєвого центру швидкостей)

Пряма є одночасно бісектрисою, висотою та медіаною . Отже цей трикутник – рівнобедрений, тобто .

Тоді маємо , звідки, беручи до уваги, що , отримаємо .

ІV спосіб (теорема про розподіл швидкостей при плоскопаралельному русі)

Оскільки , то вибираючи точку за полюс, знайдемо за згаданою теоремою

,

де . Але , звідки випливає, що , а отже. Тоді шукану швидкість можна знайти за теоремою косинусів (див. рис. 1):

1. Знаходження прискорення (див. рис. 2)

І спосіб (використання формул кінематики точки)

Згадаємо, що абсциса т. має вираз

тоді шукане прискорення цієї точки знаходиться шляхом подвійного диференціювання цього виразу: . Знак «-» вказує на напрямок вектора відносно осі .

Рис. 2. До визначення прискорення точки .

ІІ спосіб (теорема про розподіл прискорень при плоскопаралельному русі)

Визначимо спочатку прискорення т. кривошипа

,

де , (оскільки ). Отже , а .

Вибираючи т. за полюс, маємо

,

де , .

Знайдемо проекції прискорення т. шатуна на осі системи координат :

,

З другого рівняння випливає, що , тоді перше надає можливість знайти шукане прискорення т. :

.

ІІІ спосіб (використання миттєвого центру прискорень)

Знайдемо спочатку напрямний тангенс для шатуна : , отже . Таким чином, миттєвий центр прискорень знаходиться в точці перетину векторів прискорень точок і , тобто в т. . Оскільки прискорення двох точок плоскої фігури співвідносяться як їхні відстані до миттєвого центру прискорень, тоді маємо

,

звідки знайдемо шукане прискорення т. :

.

4