attachment

В. С. Дідковський

Конспект лекцій

по

Теоретичній Механіці

1

Зміст

2.1.4. Вільні та невільні системи матеріальних точок. В'язі та їх реакції

49

2

a. Узагальнені координати і узагальнені швидкості та прискорення 83

3

4

Розділ 1. Кінематика

1.1.Кінематика точки

1.1.1.Основні положення

Кінематика – це розділ класичної механіки, в якому вивчаються геометричні властивості механічних рухів незалежно від фізичних факторів, що спричиняють ці рухи, тобто незалежно від сил, тому її ще називають “геометрією рухів”. Кінематика безпосередньо спирається на основні положення геометрії. До цих положень приєднуються поняття про час. У кінематиці при зміні часу розрізняють такі поняття, як проміжок часу і початковий момент часу.

Проміжком часу називають перебіг часу між двома фізичними явищами. Моментом часу називають границю між двома суміжними проміжками часу. Початковим моментом часу називають момент часу, з якого починається відлік. Кінематика складається з кінематики точки і кінематики абсолютно твердого тіла. Рух тіл кінематика вивчає відносно певних систем координат. Ці системи

координат вважатимемо рухомими або умовно нерухомими залежно від конкретних умов механічної задачі. Сукупність тіла відліку, з яким пов’язана система координат, і годинника називають системою відліку.

У теоретичній механіці час вважається однаковим у будь-яких системах відліку (системах координат) і не залежним від руху цих систем відносно одна одної.

Закон руху точки або тіла визначається зв’язком між довільним положенням точки чи тіла в просторі і часом. Основними характеристиками руху точки є її

положення, швидкість і прискорення.

Основне завдання кінематики – вивчення законів руху матеріальних об’єктів (точок, систем точок, твердих тіл).

Законом руху матеріальної точки називається спосіб її переходу з одного довільного положення у просторі й часі в інше довільне положення.

1.1.2. Способи визначення руху точки

Рух точки в просторі визначається трьома основними способами: векторним, координатним і натуральним.

Векторний спосіб найчастіше застосовується в різних теоретичних дослідженнях. Виберемо в просторі умовно нерухому точку О, відносно якої маємо

дослідити рух точки М (рис.1.1). Проведемо з точки О в точку М радіус-вектор r . Крива, по якій рухається точка, називається її траєкторією. При зміні положення точки М

Рівняння (1.1) називається кінематичним рівнянням руху точки у векторній

формі.

5

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Воно визначає положення точки в просторі в довільний момент часу, а отже і закон руху точки. З геометричної точки зору рівняння (1.1) можна розглядати як рівняння траєкторії точки в параметричній формі.

Розглянемо координатний спосіб. Визначимо положення точки, застосовуючи ортогональну систему декартових координат Oxyz (рис.1.2). Координати точки

Функціональні залежності (1.2) називають кінематичними рівняннями руху точки. Вони дають змогу визначити положення точки в просторі в довільний момент часу, тобто це є закон руху точки.

З аналітичної геометрії відомо, що (1.2) – це рівняння траєкторії точки в параметричній формі. Щоб знайти рівняння траєкторії точки в координатній формі, досить з цих рівнянь виключити параметр t . Наприклад , розв’язуючи останнє рівняння

поверхонь, що проектують траєкторію на координатні площини xOz і yOz .

Крім декартової, користуються й іншими системами координат: на площині – полярною системою координат ( , ); у просторі циліндричною ( , , z ),

сферичною ( r , , ) та іншими криволінійними системами координат. Закон руху

точки в цих системах координат визначається аналогічно. Наприклад, у полярній системі координат рівняння руху точки мають вигляд

Між векторним і координатним способами вивчення руху точки існує зв’язок.

Для його встановлення проведемо з початку координат у точку М радіус-вектор r і розкладемо його по ортах осей координат:

Підставивши (1.6) у (1.5), дістанемо

6

Рівняння (1.8) називають законом руху точки по траєкторії. Закон руху точки в просторі визначається сукупністю всіх даних: траєкторію точки, положенням початкової точки О, додатним і від’ємним напрямами відліку, масштабом для вимірювання S і рівнянням (1.8).

Натуральний спосіб визначення руху точки в просторі застосовують і в різних теоретичних дослідженнях, і при розв’язуванні конкретних задач. Особливо доцільно його застосовувати, коли відомі форма і положення в просторі траєкторії точки.

Розглянемо поняття про шлях, який проходить точка М. Зауважимо, що слід розрізняти дугову координату S і шлях , що його проходить точка за проміжок часу

t1 , t2 .Щоб визначити шлях , розкладемо проміжок часу t1 , t2 на проміжки ti

(1,2,...,n) так, щоб протягом кожного проміжку ti точка рухалась в одному напрямі.

Зрозуміло, що шлях є монотонно зростаюча функція часу.

Звичайно, між натуральним способом визначення руху точки і першими двома способами існує зв’язок. Не вдаючись до подробиць, зауважимо, що радіус-вектор точки

r при натуральному способові визначення руху точки можна розглядати як функцію дугової координати s, тобто як складну функцію часу:

Зв’язок між натуральним і координатним способами визначення руху легко знайти, обчислюючи за відомими формулами диференціальної геометрії елемент дуги ds траєкторії:

7

годографом векторної функції. Щоб знайти рівняння годографа, досить вибрати

функції (t) .

8

точка M / M , то січна MM / наближається до дотичної в точці М. Отже, вектор

d напрямлений по дотичній до годографа функції .

dt

Як відомо, похідна від скалярної функції визначає напрям дотичної до графіка функції, а її фізичний зміст полягає у визначенні темпу зміни функції залежно від зміни аргументу. Отже, фізичний зміст похідної векторної функції можна вважати аналогічним

– похідна векторної функції (t) визначає темп зміни вектора і напрямлена по дотичній до годографа функції .

1.1.4. Швидкість руху точки

Перейдемо до вивчення основних кінематичних величин, що характеризують рух точки в просторі. Такими величинами є швидкість точки та її прискорення.

Як і в підрозділі 1.1.2. користуватимемося трьома способами визначення руху

точки.

Швидкістю точки називають фізичну величину, що характеризує бистроту зміни положення точки в просторі зі зміною часу.

При векторному способі визначення руху точки закон її руху має вигляд

r r(t) . Траєкторія точки – годограф функції r r(t) . На основі визначення

поняття швидкості і фізичного змісту похідної векторної функції скалярного аргументу робимо висновок, що швидкість точки є вектор, який дорівнює першій похідній від радіуса-вектора:

Тут і далі диференціюванням за часом позначене крапкою.

Вектор швидкості напрямлений по дотичній до годографа вектора r , тобто по дотичній до траєкторії точки в той бік, що відповідає зростанню часу t (рис.1.6).

Рівність (1.15) визначає вектор швидкості точки векторним способом математичного опису її руху.

9