attachment
.pdf
в |
г |
рис. 2.2
5.2. Вільні коливання круглої мембрани
Для вивчення коливань круглої мембрани, защемленої по контуру, використовують полярні координати r, . У цьому
функція W (r, ,t) визначається з хвильового рівняння
W 1 2W , c2 t2
де c2 T , а оператор Лапласа має вид
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
||
r2 |
r |
|
r |
r2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|||||
Тоді хвильове рівняння має вид:
зовнішньому разі шукана
(3.1)
|
|
2W |
|
1 |
W |
|
1 |
|
2W f (r, ,t) |
1 |
2W , |
(3.2) |
|
|
|
r2 |
|
r2 |
|
||||||||
|
|
|
r r |
|
2 |
c2 t2 |
|
||||||
f (r, , t) |
q(r, , t) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У разі вільних |
коливань |
мембрани радіуса a |
зовнішнє |
розподілення |
|||||||||
навантаження відсутнє |
f |
0 і функція W (r, ,t) , яка знаходиться з однорідного |
|||||||||||
рівняння, має задовольняти граничні |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
W (a, ,t) 0 |
|
|
(3.3) |
||
та початкові умови |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
W (r, , 0) Q (r, ); |
W (r, , 0) |
Q (r, ) . |
(3.4) |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
t |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функцію відхилення точок мембрани від положення рівноваги шукаємо у вигляді
151
|
|
|
W (r, ,t) w(r, ) e i t . |
|
(3.5) |
|||||||||
Робимо припущення про існування |
розв’язку w(r, ) |
для круглої |
||||||||||||
мембрани, як добутку двох незалежних функцій |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
w(r, ) R(r) ( ) . |
|
|
|||||||
Після підстановки у хвильове рівняння маємо |
|
|
||||||||||||
|
r2 |
|
d 2 R |
|
r |
|
dR |
k2 r2 |
|
1 |
|
d 2 |
2 |
(3.6) |
|
|
|
dr2 |
|
|
|
|
|||||||
|
R |
|
|
R dr |
d 2 |
|
|
|||||||
З останнього рівняння отримаємо 2 незалежних рівняння:
|
|
|
|
|
|
|
1 d 2 |
2 |
або |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
d 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
r2 |
|
d 2 R |
|
r |
|
dR |
k 2 r2 |
2 |
або |
|||
R |
|
dr2 |
R dr |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Розв’язок першого рівняння має вид
d 2 2 0 d 2
d 2 R 1 dR k 2 2 dr2 r dr r2
R 0
(3.7)
(3.8)
( ) Acos B sin .
Оскільки розглядається кругла мембрана 0 2 , то і розв’язок ( )
має бути періодичною функцією кута з періодом 2 . Це можливо, коли сталадорівнює цілому числу, тобто n 0,1, 2...
Після цього друге рівняння (3.8) набирає вигляду
d 2 R |
|
1 dR |
|
2 |
|
n2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
R 0 |
(3.9) |
dr |
2 |
r dr |
|
r |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Останнє рівняння, що виникає у багатьох різних задачах фізики дістало назву рівняння Бесселя, який дослідив його властивості. Останнє рівняння є рівнянням другого порядку і повинно мати два лінійно незалежних розв’язки, для яких прийнято спеціальні позначення n (kr) , Nn (kr) . Перше з них називається
функцією Бесселя першого роду, а друге – функцією Бесселя другого роду
(інакше функцією Неймана) n-го порядку (див рис. 3.1).
Про характер функцій, що є розв’язками останнього рівняння можна судити порівнюючи зображення у вигляді ряду по степеням аргументу функції Бесселя першого роду n (z) і звичайної функції, як sin z :
152
z |
n |
1 |
|
|
1 |
|
z |
2 |
|
|
1 |
|||
n (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n 1 ! |
|||||||
2 |
|
n! |
|
1 ! 2 |
|
2! |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z z z3 z5 z7 ...
3! 5! 7!
... ;
(3.10)
(3.11)
Аналіз функцій показує, що функції Бесселя досить близькі за своєю природою до відомих тригонометричних функцій.
а
б
рис. 3.1
Характерно, що всі функції другого роду при наближенні r до нуля прямують у мінус нескінченність. Наприклад
153
Nn (kr)
kr 0
|
2 |
|
ln kr, |
|
|
|
|
n 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(3.12) |
|
|
|
n 1 ! |
2 |
n |
||||
|
|
, |
n 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
kr |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Враховуючи, що Nn (kr) необмежено зростає при наближенні до центра мембрани, амплітуди прогину мембрани представляють у вигляді
w(r, ) n (kr) Acos n B sin n , |
n 0,1, 2... |
(3.13) |
A, B – деякі сталі. |
|
|
Існують осесиметричні (відносно напряму |
sin n 0 |
0 ) і |
неосесиметричні ( cos n 0) коливання мембрани. Розглянемо осесиметричні коливання. Тоді
|
|
|
|
w(r, ) A n (kr) cos n , |
|
|
|
(3.14) |
|||||||||||||
де k поки невідома довільна величина. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У відповідності з граничними умовами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
wn (a, ) 0 , |
|
|
а |
n (ka) 0 |
|
|
(3.15) |
||||||||||
Якщо обмежитись асимптотичним виразом для функції Бесселя |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n (z) |
|
|
|
|
cos z |
|
|
|
|
|
, |
|
(3.16) |
||||
|
|
|
|
|
|
z |
4 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
a |
|
2n 1 |
|
2m 1 |
|
|
|
|
(3.17) |
||||||
|
|
|
|
nm |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Нескінченний набір коренів (3.15) визначає нескінченний набір власних |
|||||||||||||||||||||
частот і форм коливань |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
nm |
k |
nm |
, |
wnm (r, ) |
n (knm r) cos n , |
|
n 0,1, 2... |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
(3.18) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 0,1, 2... |
|
|||
Форми коливань визначаються з точністю до сталого множника. В останньому виразі для форм коливань круглої мембрани обмежились лише cos n при запису кутової залежності (осесиметричні коливання). В загальному
154
вигляді вираз для wnm (r, ) задовольнятиме рівняння Гельмгольца в полярних координатах, якщо замінити cos n на cos n nm .
Як і у випадку прямокутної мембрани, кожна власна форма коливань мембрани є певна сукупність стоячих хвиль, що характеризуються своїми вузловими точками (лініями). У даному разі такими лініями є вузлові кола та вузлові діаметри, що визначаються відповідно рівняннями
n (knm r) 0, |
cos n nm 0 . |
(3.19) |
||
Перше з цих рівнянь визначає |
m кіл, концентричних з |
контуром |
||
мембрани. Радіуси цих кіл |
|
|
|
|
r |
knq |
a, |
q 1, 2,...n |
(3.20) |
|
||||
q |
knm |
|
|
|
|
|
|
|
|
Радіус rm збігається з радіусом мембрани. Друге рівняння з (3.19) визначає n вузлових діаметрів мембрани
|
|
|
n nm (2 p 1) |
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p 1 |
|
nm , |
p 1, 2,...n . |
|
p |
|
||||||
|
|
n 2 |
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
На рис 3.2 зображено деякі випадки розміщення вузлових ліній.
рис. 3.2
Зазначимо, що співвідношення нормальних частот мембрани не є ціле число, тобто вони не створюють гармонічний ряд. Тому мембрана через період основного тону у попередній стан не повертається. Звичайно можна створити такі початкові умови, коли в коливаннях мембрани буде лише одне гармонічне коливання.
155