Spektorsky_diskretka
.pdf
3.3.Ž¯¥à æ÷ù - ¤ ¡÷- à-¨¬¨ ¢÷¤-®è¥--ﬨ
4.ö-¢¥àá-¥ (®¡¥а-¥-¥) ¢ч¤-®и¥--п: ¢¨§- з хвмбп ¤«п ¡ч- а-®£® ¢ч¤-®- и¥--п R: A ! B ïª ¢÷¤-®è¥--ï R¡1 : B ! A, â ª¥, é®:
yR¡1x , xRy |
(x 2 A, y 2 B): |
“ ¢¨¯ ¤ªã ¡÷- à-®£® ¢÷¤-®è¥--ï R : A ! B - áª÷-ç¥--¨å A â B ¬ - |
|
âà¨æï ÷-¢¥àá-®£® ¢÷¤-®è¥--ï MR¡1 |
®¡з¨б«охвмбп пª ва -б¯®-®¢ - ¤® |
¬ âà¨æ÷ MR: MR¡1 = (MR)T , ⮡⮠|
|
(MR¡1 )j;i = (MR)i;j ; 1 · i · n(A); 1 · j · n(B):
•à¨ª« ¤ 3.11. •¥å ©
A= fa1; a2; a3g; B = fb1; b2g; R = f(a1; b1); (a2; b2); (a3; b1)g:
‡áâ®á®¢ãîç¨ ¯à¨à®¤-ã -㬥à æ÷î à浪÷¢ â á⮢¯æ÷¢, ®âਬãõ¬®:
MR = 00 |
11; MR¡1 = |
µ |
0 |
1 |
0 |
; |
1 |
0 |
|
|
¶ |
|
|
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
|
@ |
A |
|
|
|
|
|
⮡⮠R¡1 = f(b1; a1); (b2; a2); (b1; a3)g.
5. Š®¬¯®§¨жчп ¢ч¤-®и¥-м: ¢¨§- з хвмбп ¤«п ¢ч¤-®и¥-м R : A ! B â S : B ! C ïª ¢÷¤-®è¥--ï R ± S : A ! C, â ª¥, é®:
a(R ± S)c , 9b 2 B : aRb ^ bSc:
‡ 㢠¦¥--ï 3.1. „«ï § ¯¨áã ª®¬¯®§¨æ÷ù äã-ªæ÷© §àãç-¨¬ â § £ «ì- -®¯à¨©-ï⨬ õ §¢®à®â-¨© § ¯¨á ((g ± f)(x) = g(f(x))), ®¤- ª ¤«ï ª®¬¯®-
§¨æ÷ù ¢÷¤-®è¥-ì ç áâ® ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì ïª ¯àﬨ©, â ª ÷ §¢®à®â-¨© § ¯¨á. “ æ쮬㠯®á÷¡-¨ªã ¤«ï ª®¬¯®§¨æ÷ù ¢÷¤-®è¥-ì ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨬¥¬® ¯àï- ¬¨© § ¯¨á, 直© §àãç-÷訩 ¤«ï - è¨å ¯®âॡ.
„«ï áª÷-ç¥--¨å ¬-®¦¨- A, B â C § -¥¢¥«¨ª®î ª÷«ìª÷áâî ¥«¥¬¥--
â÷¢ ª®¬¯®§¨æ÷î ¢÷¤-®è¥-ì §àãç-® ®¡ç¨á«î¢ ⨠§ ¤®¯®¬®£®î áâà÷«ª®¢¨å ¤÷ £à ¬.
39
•®§¤÷« 3. ’¥®à÷ï ¢÷¤-®è¥-ì
•à¨ª« ¤ 3.12. •¥å © A = fa1; a2; a3g, B = fb1; b2; b3g, C = fc1; c2g.
•®§£«ï-¥¬® ¢÷¤-®è¥--ï
R: A ! B; R = f(a1; b2); (a2; b1); (a2; b3); (a3; b2)g; S : B ! C; S = f(b1; c1); (b3; c1); (b3; c2)g:
Ž¡ç¨á«¨¬® ª®¬¯®§¨æ÷î R ± S.
a1 |
|
|
b1 |
|
|
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
b2 |
c2 |
a3 |
|
|
b3 |
|
R |
|
|
||
|
|
|
S |
|
A |
|
B |
|
C |
|
|
|
|
•¨á. 3.6
Ÿª ¢¨¤-® § à¨á. 3.6,
R ± S = f(a2; c1); (a2; c2)g:
Š®¬¯®§¨æ÷ï ¢÷¤-®è¥-ì - áª÷-ç¥--¨å ¬-®¦¨- å â÷á-® ¯®¢'ï§ - § ¤®- ¡ã⪮¬ ¬ âà¨æì ¢÷¤-®è¥-ì.
Ž§- ç¥--ï 3.3. •¥å ©
A = fa1; : : : ; ang; B = fb1; : : : ; bmg; C = fc1; : : : ; ckg; R: A ! B; S : B ! C:
’®¤÷ MRMS ¢¨§- з хвмбп пª ¬ ва¨жп ஧¬ч஬ n £ k, â ª , é®
m |
1; |
p: (MR)i;p = (MS)p;j = 1; |
||
|
||||
(MRMS)i;j = (MR)i;p ^ (MS)p;j = (0; |
9p: (MR)i;p |
^ |
(MS)p;j = 0: |
|
p=1 |
|
8 |
|
|
‡ §- 稬®, é® ¤®¡ã⮪ ¬ âà¨æì ¢÷¤-®è¥-ì MRMS ¢¨§- з хвмбп - -
«®£чз-® ª« б¨з-®¬г ¤®¡гвªг ¬ ва¨жм, ¢ч¤®¬®¬г § ªгабг «ч-ч©-®щ «£¥¡а¨, «¥ § ¬чбвм а¨д¬¥в¨з-¨е ®¯¥а жч© ¤®¡гвªг в бг¬¨ ¢¨ª®а¨бв®¢говмбп «®£чз-ч ®¯¥а жчщ ª®-'о-ªжчщ в ¤¨§'о-ªжчщ ¢ч¤¯®¢ч¤-®.
40
3.4. ‚« á⨢®áâ÷ ¡÷- à-¨å ¢÷¤-®è¥-ì
‚¯à ¢ 3.1. „®¢¥áâ¨, é® MR±S = MRMS.
•à¨ª« ¤ 3.13. Ž¡ç¨á«¨¬® ª®¬¯®§¨æ÷î ¢÷¤-®è¥-ì § ¯à¨ª« ¤ã 3.12. |
||||||
‡ ¯à¨à®¤-®ù -㬥à æ÷ù à浪÷¢ â |
á⮢¯æ÷¢ ¬ âà¨æì ®âਬãõ¬®: |
|||||
MR±S = MRMS = 01 0 |
1100 |
01 = |
01 |
11: |
||
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
@0 |
1 |
0A@1 |
1A @0 |
0A |
||
Žâ¦¥, R ± S = f(a2; c1); (a2; c2)g. |
|
|
|
|
|
|
’¥®à¥¬ 3.1. Ž¯¥à æ÷ï ª®¬¯®§¨æ÷ù |
á®æ÷ ⨢- , ⮡⮠|
|||||
R ± (S ± T ) = (R ± S) ± T; ¤¥ R: A ! B; S : B ! C; T : C ! D:
„®¢¥¤¥--ï. „®¢¥¤¥--ï ¡ã¤¥¬® ¯à®¢®¤¨â¨ ¬®¤¥«ì-¨¬ ᯮᮡ®¬.
1) a(R ± (S ± T ))d , 9b: aRb ^ b(S ± T )d ,
,9b: aRb ^ (9c: bSc ^ cT d) , 9b9c: aRb ^ bSc ^ cT d;
2)a((R ± S) ± T )d , 9c: a(R ± S)c ^ cT d ,
, 9c: (9b: aRb ^ bSc) ^ cT d , 9b9c: aRb ^ bSc ^ cT d:
3.4. ‚« á⨢®áâ÷ ¡÷- à-¨å ¢÷¤-®è¥-ì
• ¯а ªв¨жч з бв® §гбвачз овмбп ч ¢¨ª®а¨бв®¢говмбп ¡ч- а-ч ¢ч¤-®- и¥--п - ¬-®¦¨-ч A, é® ¬ îâì ¯¥¢-÷ ¤®¤ ⪮¢÷ ¢« á⨢®áâ÷. „¥ïª÷ §
в ª¨е ¢« бв¨¢®бв¥© ஧£«п-¥¬® ¢ жм®¬г ¯ч¤а®§¤ч«ч. • ¤ «ч ¢ жм®¬г ¯ч¤- ஧¤ч«ч ஧£«п¤ хвмбп ¢ч¤-®и¥--п R: A ! A.
1. ‚÷¤-®è¥--ï R - §¨¢ îâì à¥ä«¥ªá¨¢-¨¬, ïªé® 8a: aRa.
‡ ®§- ç¥--ï ¢¨¯«¨¢ õ, é® ã ¢¨¯ ¤ªã áª÷-ç¥--®ù ¬-®¦¨-¨ A
(R { à¥ä«¥ªá¨¢-¥) , (8i: (MR)ii = 1): ‚¯à ¢ 3.2. „®¢¥áâ¨, é®
(R { à¥ä«¥ªá¨¢-¥) , (R ¾ IA):
•à¨ª« ¤ 3.14. 1) •¥ä«¥ªá¨¢-¨¬¨ õ â®â®¦-¥ ¢÷¤-®è¥--ï IA â ¯®¢-¥ ¢÷¤-®è¥--ï A2 ¤«ï ¤®¢÷«ì-®ù ¬-®¦¨-¨ A;
2) -¥å © A = R. ’®¤÷ ¢÷¤-®è¥--ï «=», «·», «¸» à¥ä«¥ªá¨¢-÷.
41
•®§¤÷« 3. ’¥®à÷ï ¢÷¤-®è¥-ì
2. ‚÷¤-®è¥--ï R - §¨¢ îâì -â¨à¥ä«¥ªá¨¢-¨¬, ïªé® 8a: a6Ra.
‡ ®§- ç¥--ï ¢¨¯«¨¢ õ, é® ã ¢¨¯ ¤ªã áª÷-ç¥--®ù ¬-®¦¨-¨ A
(R { -â¨à¥ä«¥ªá¨¢-¥) , (8i: (MR)ii = 0): ‚¯à ¢ 3.3. „®¢¥áâ¨, é®
(R { -â¨à¥ä«¥ªá¨¢-¥) , (R \ IA = ?):
•à¨ª« ¤ 3.15. 1) €-â¨à¥ä«¥ªá¨¢-¨¬ õ ¯®à®¦-õ ¢÷¤-®è¥--ï ?; 2) -¥å © A = R. ’®¤÷ ¢÷¤-®è¥--ï «<>», «<», «>» -â¨à¥ä«¥ªá¨¢-÷.
3. ‚÷¤-®è¥--ï R - §¨¢ îâì ᨬ¥âà¨ç-¨¬, ïªé® aRb , bRa.
‡ ®§- ç¥--ï ¢¨¯«¨¢ õ, é® ã ¢¨¯ ¤ªã áª÷-ç¥--®ù ¬-®¦¨-¨ A
(R { ᨬ¥âà¨ç-¥) , (MR = (MR)T ): ‚¯à ¢ 3.4. „®¢¥áâ¨, é®
(R { ᨬ¥âà¨ç-¥) , (R = R¡1):
•à¨ª« ¤ 3.16. 1) ‘¨¬¥âà¨ç-¨¬¨ õ ¯®à®¦-õ, ¯®¢-¥ â â®â®¦-¥ ¢÷¤- -®è¥--ï - ¤®¢÷«ì-÷© ¬-®¦¨-÷ A;
2) -¥å © A = R. ’®¤÷ ¢÷¤-®è¥--ï «<>» â «=» ᨬ¥âà¨ç-÷. 4. ‚÷¤-®è¥--ï R - §¨¢ îâì -â¨á¨¬¥âà¨ç-¨¬, ïªé®
(aRb ^ bRa) ) (a = b):
‚¯à ¢ 3.5. „®¢¥áâ¨, é®
(R { -â¨á¨¬¥âà¨ç-¥) , (R \ R¡1 ½ IA):
•à¨ª« ¤ 3.17. 1) €-â¨á¨¬¥âà¨ç-¨¬¨ õ ¯®à®¦-õ â â®â®¦-¥ ¢÷¤-®- è¥--ï - ¤®¢÷«ì-÷© ¬-®¦¨-÷ A;
2) -¥å © A = R. ’®¤÷ ¢÷¤-®è¥--ï «·»,«¸», «<», «>» -â¨á¨¬¥âà¨ç-÷.
‡ 㢠¦¥--ï 3.2. ‚« á⨢®áâ÷ ᨬ¥âà¨ç-®áâ÷ â -â¨á¨¬¥âà¨ç-®áâ÷ -¥ õ ¢§ õ¬®¢¨ª«îç-¨¬¨. ’ ª, ¯®à®¦-õ â â®â®¦-¥ ¢÷¤-®è¥--ï ¢®¤-®ç á á¨- ¬¥âà¨ç-÷ â -â¨á¨¬¥âà¨ç-÷.
42
3.4. ‚« á⨢®áâ÷ ¡÷- à-¨å ¢÷¤-®è¥-ì
‚¯à ¢ |
3.6. • ¢¥á⨠¯à¨ª« ¤¨ ¢÷¤-®è¥-ì, ïª÷: |
||
1) |
-¥ õ |
-÷ ᨬ¥âà¨ç-¨¬¨, |
-÷ -â¨á¨¬¥âà¨ç-¨¬¨; |
2) |
-¥ õ |
-÷ à¥ä«¥ªá¨¢-¨¬¨, |
-÷ -â¨à¥ä«¥ªá¨¢-¨¬¨; |
3) |
õ ᨬ¥âà¨ç-¨¬¨ ÷ -â¨á¨¬¥âà¨ç-¨¬¨ ®¤-®ç á-®. |
||
5. ‚÷¤-®è¥--ï R - §¨¢ îâì âà -§¨â¨¢-¨¬, ïªé® |
|||
|
|
(aRb ^ bRc) ) (aRc): |
|
‚¯à ¢ |
3.7. „®¢¥áâ¨, é® |
|
|
|
|
(R { âà -§¨â¨¢-¥) , (R ± R ½ R): |
|
•à¨ª« ¤ 3.18. 1) ’à -§¨â¨¢-¨¬¨ õ ¯®à®¦-õ, ¯®¢-¥ â â®â®¦-¥ ¢÷¤- -®è¥--ï - ¤®¢÷«ì-÷© ¬-®¦¨-÷ A;
2) -¥å © A = R. ’®¤÷ ¢÷¤-®è¥--ï «=», «·», «¸», «<», «>» âà -§¨â¨¢-÷.
3.4.1. ’à -§¨â¨¢-¥ § ¬¨ª --ï
Ž§- ç¥--ï 3.4. ’à -§¨â¨¢-¨¬ § ¬¨ª --ï¬ ¢÷¤-®è¥--ï R : A ! A
-§¨¢ îâì â ª¥ ¢÷¤-®è¥--ï Rtr : A ! A, é®:
²Rtr { âà -§¨â¨¢-¥;
²Rtr ¾ R;
²ïªé® ¢÷¤-®è¥--ï S : A ! A âà -§¨â¨¢-¥ â S ¾ R, â® S ¾ Rtr.
ö- ªè¥ ª ¦ãç¨, âà -§¨â¨¢-¨¬ § ¬¨ª --ï¬ ¢÷¤-®è¥--ï R õ - ©¬¥--
è¥ § ¢ª«îç¥--ï¬ («½») âà -§¨â¨¢-¥ ¢÷¤-®è¥--ï Rtr, é® ¬÷áâ¨âì ¢÷¤- -®è¥--ï R ïª ¯÷¤¬-®¦¨-ã (Rtr { - ©¬¥-è¥ âà -§¨â¨¢-¥ ஧è¨à¥--ï ¢÷¤-®è¥--ï R).
Žç¥¢¨¤-®, é® âà -§¨â¨¢-¥ § ¬¨ª --ï ¢¨§- ç¥-¥ ®¤-®§- ç-®. ‘¯à ¢- |
|||||
¤÷, ïªé® 㬮¢¨ ®§- ç¥--ï 3.4 § ¤®¢®«ì-ïîâì ¤¢ ¢÷¤-®è¥--ï Rtr;1 â |
|||||
Rtr;2, § ®§- ç¥--ï 3.4 -¥£ ©-® ®âਬãõ¬®: |
|
||||
(Rtr;1 ½ Rtr;2) ^ (Rtr;2 ½ Rtr;1) ) Rtr;1 = Rtr;2: |
|
||||
‚¯à ¢ 3.8. „®¢¥á⨠⠪ã ä®à¬ã«ã ¤«ï ®¡ç¨á«¥--ï Rtr: |
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n[ |
|
|
Rtr = |
=1 |
Rn = R [ R2 [ ¢ ¢ ¢ [ Rn [ : : : ; |
(3.1) |
||
|
|
|
|
|
|
¤¥ R1 = R, Rn = R ± ¢ ¢ ¢ ± R. |
|
||||
| |
|
{z |
|
} |
|
n
43
•®§¤÷« 3. ’¥®à÷ï ¢÷¤-®è¥-ì
”®à¬ã« (3.1) ¬÷áâ¨âì ®¡'õ¤- --ï -¥áª÷-ç¥--®ù ª÷«ìª®áâ÷ «ª®¬¯®§¨- æ÷©-¨å á⥯¥-÷¢» Rn, ¯à®â¥ ã ¢¨¯ ¤ªã áª÷-ç¥--®ù ¬-®¦¨-¨ A ¤«ï ®¡-
ç¨á«¥--ï Rtr ¯à®æ¥á ®¡ç¨á«¥--ï «бв ¡ч«ч§гхвмбп» § áª÷-ç¥--ã ª÷«ìª÷áâì ªà®ª÷¢. ‘ä®à¬ã«îõ¬® 楩 ä ªâ ã ¢¨£«ï¤÷ ⥮६¨.
’¥®à¥¬ 3.2. •¥å © n(A) = N. ’®¤÷
Rtr = [N Rn = R [ R2 [ ¢ ¢ ¢ [ RN :
n=1
’¥®à¥¬ã 3.2 ¡ã¤¥ ¤®¢¥¤¥-® ¤ «÷, § ¢¨ª®à¨áâ --ï¬ â¥å-÷ª¨ ®à÷õ-⮢ - -¨å £à ä÷¢ (¤¨¢. ¯÷¤à®§¤. 5.8).
•à¨ª« ¤ 3.19. 1. •¥å © A = fa; bg, R = f(a; b); (b; a)g. ’®¤÷
R2 = f(a; a); (b; b)g; Rtr = R [ R2 = f(a; a); (a; b); (b; a); (b; b)g:
–÷ª ¢® § §- ç¨â¨, é® ª®¬¯®§¨æ÷©-÷ á⥯¥-÷ Rk ¢ æ쮬㠯ਪ« ¤÷ -¥ áâ - ¡ч«ч§говмбп:
R2k = f(a; a); (b; b)g; R2k+1 = R; k 2 N:
2. •®§£«ï-¥¬® ¢¨¯ ¤®ª ¢÷¤-®è¥--ï - -¥áª÷-ç¥--÷© ¬-®¦¨-÷. •¥å © |
|||||||
A = N |
, |
n; n |
|
n |
2 Ng |
. Œ¥â®¤®¬ ¬ ⥬ â¨ç-®ù ÷-¤ãªæ÷ù -¥¢ ¦ª® |
|
|
R = f(k |
|
+ 1): |
|
|
||
¤®¢¥áâ¨, é® R |
= f(n; n + k)g, (k ¸ 1), §¢÷¤ª¨ ¬ õ¬®: |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
k[ |
Rk = f(n; n + k): n 2 N; k 2 Ng = f(n; m): n < mg: |
||||
|
Rtr = |
||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
Žâ¦¥, ¢÷¤-®è¥--ï R §¡ч£ хвмбп § ¢ч¤-®и¥--п¬ «<» - ¬-®¦¨-÷ - âã- |
|||||||
à «ì-¨å ç¨á¥«: |
|
nRm , n < m; n; m 2 N: |
|||||
|
|
|
|
||||
“ ஡®â÷ [7] - ¢¥¤¥-® ¥ä¥ªâ¨¢-¨© ª®¬¯'îâ¥à-®-®à÷õ-⮢ -¨© «£®- à¨â¬ ®¡ç¨á«¥--ï âà -§¨â¨¢-®£® § ¬¨ª --ï ¤«ï ¢÷¤-®è¥-ì - áª÷-ç¥--¨å ¬-®¦¨- å.
44
3.5. ‚÷¤-®è¥--ï ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ â ¢÷¤-®è¥--ï ¯®à浪ã
3.5.‚÷¤-®è¥--ï ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ â ¢÷¤-®è¥--ï ¯®à浪ã
3.5.1. ‚÷¤-®è¥--ï ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷
Ž§- ç¥--ï 3.5. ‚÷¤-®è¥--ï R : A ! A - §¨¢ îâì ¢÷¤-®è¥--ï¬
¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ ( ¡® ¥ª¢÷¢ «¥-â-÷áâî), ïªé® R õ ¢®¤-®ç á à¥ä«¥ªá¨¢-¨¬, ᨬ¥âà¨ç-¨¬ â âà -§¨â¨¢-¨¬.
“ à §÷ ¡áâà ªâ-®£® ¢÷¤-®è¥--ï ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ R ¤«ï ¢¨á«®¢«¥--ï xRy § £ «ì-®¯à¨©-ï⨬ õ ¯®§- ç¥--ï x » y (x ¥ª¢÷¢ «¥-â-¥ y).
‚¯à ¢ 3.9. •¥à¥¢÷à¨â¨, ç¨ õ ¯®¢-¥ ¢÷¤-®è¥--ï ¢÷¤-®è¥--ï¬ ¥ª¢÷- ¢ «¥-â-®áâ÷.
‚¯à ¢ 3.10. •¥à¥¢÷à¨â¨, ç¨ õ ¯®à®¦-õ ¢÷¤-®è¥--ï ¢÷¤-®è¥--ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷.
•à¨ª« ¤ 3.20. 1. •¥å © A { ¤®¢÷«ì- ¬-®¦¨- . ’®â®¦-¥ ¢÷¤-®è¥--ï IA õ ¢÷¤-®è¥--ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷.
2. •¥å © A = Z. •÷- à-¥ ¢÷¤-®è¥--ï
(x » y) , ((x ¡ y) { ¯ à-¥)
õ ¢÷¤-®è¥--ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷. ’ ªã ¥ª¢÷¢ «¥-â-÷áâì - §¨¢ îâì ¥ª¢÷¢ - |
||
«¥-â-÷áâî § |
¬®¤ã«¥¬ 2 â ¯®§- ç îâì ç¥à¥§ x = y (mod 2). Ÿª «¥£ª® |
|
¯®¡ ç¨â¨, ¤¢ |
ç¨á« x â y ¥ª¢÷¢ «¥-â-÷ § |
¬®¤ã«¥¬ 2 ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, |
ª®«¨ ¢®-¨ ¬ îâì ®¤- ª®¢ã ¯ à-÷áâì (®¡¨¤¢ |
¯ à-÷ ¡® ®¡¨¤¢ -¥¯ à-÷). |
|
’ ª, 2 » 0 » 4 » ¡2 » 18, 1 » 3 » ¡13, «¥ 1 6»4. |
||
3. •®§£«ï-¥¬® 㧠£ «ì-¥--ï ¯à¨ª« ¤ã § ¯ã-ªâã 2. •¥å © p 2 N, A = Z.
—¥à¥§ x mod p (x 2 Z) ¡ã¤¥¬® ¯®§- ç ⨠®áâ çã ¢÷¤ ¤÷«¥--ï x=p, ⮡â®
x = pk + (x mod p) ¤«ï ¤¥ïª®£® k 2 Z. ‹¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ¡÷- à-¥
¢÷¤-®è¥--ï
(x » y) , (x ¡ y) mod p = 0
õ ¢÷¤-®è¥--ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷. ’ ªã ¥ª¢÷¢ «¥-â-÷áâì - §¨¢ îâì ¥ª¢÷¢ - «¥-â-÷áâî § ¬®¤ã«¥¬ p â ¯®§- ç îâì x = y (mod p). Ÿª «¥£ª® ¡ ç¨â¨,
45
•®§¤÷« 3. ’¥®à÷ï ¢÷¤-®è¥-ì
¤¢ ç¨á« x â y ¥ª¢÷¢ «¥-â-÷ § ¬®¤ã«¥¬ p ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ¢®- -¨ ¤ îâì ®¤- ª®¢ã ®áâ çã ¢÷¤ ¤÷«¥--ï - p. ’ ª, ¯à¨ p = 2 ®¤¥à¦¨¬®
¢÷¤-®è¥--ï § ¯ã-ªâã 2.
4. •¥å © A = R2. •®§£«ï-¥¬® ¢÷¤-®è¥--ï ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷
((x1; x2) » (y1; y2)) , (x1 = y1):
Ÿª ¡ 稬®, ¤¢ ¢¥ªâ®à¨ x = (x1; x2), y = (y1; y2) ®£®«®иговмбп ¥ª¢ч¢ -
«¥-â-¨¬¨ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ¢®-¨ ¬ îâì ®¤- ª®¢÷ ¯¥àè÷ ª®®à¤¨- â¨, ⮡⮠x1 = y1.
5. • ¢¥¤¥¬® ¤¥é® èâãç-¨© ¯à¨ª« ¤. •¥å © A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. •®§- £«ï-¥¬® â ª¥ ¢÷¤-®è¥--ï:
R = f(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6);
(1; 2); (2; 1); (3; 4); (4; 3); (3; 5); (5; 3); (4; 5); (5; 4)g:
‹¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® R { ¢÷¤-®è¥--ï ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷:
1 » 2; 3 » 4 » 5; 1 6»3; 1 6»; 3 6»:
‚÷¤-®è¥--ï R ¬ õ - ®ç-÷è¥ §®¡à ¦¥--ï ã ¢¨£«ï¤÷ ®à÷õ-⮢ -®£® £à -
äã â ¬ âà¨æ÷ (à¨á. 3.7, § |
¯à¨à®¤-®ù -㬥à æ÷ù à浪÷¢ â |
á⮢¯æ÷¢). |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
01 |
|
|
|
|
01 |
|||
3 |
6 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|||||
|
|
|
M» = |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
B0 0 1 1 |
1 |
0C |
|||||
|
|
|
|
B |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
C |
|
|
|
|
B0 |
0C |
|||||
|
|
|
|
B |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
5 |
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
||
|
|
|
|
B0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1C |
|
•¨á. 3.7
46
3.5. ‚÷¤-®è¥--ï ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ â ¢÷¤-®è¥--ï ¯®à浪ã
‡ §- 稬®, é® «¡«®ª®¢ » áâàãªâãà ¬ âà¨æ÷ M» -¥ õ ¢¨¯ ¤ª®¢÷áâî
{ ¤®áâ â-ì® ¯®à÷¢-ï⨠áâàãªâãàã ¬ âà¨æ÷ §÷ áâàãªâãà®î ®à÷õ-⮢ -®£® £à äã. •÷«ìè¥ â®£®, ¬ âà¨æï ¤®¢÷«ì-®£® ¢÷¤-®è¥--ï ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷ - áª÷-ç¥--÷© ¬-®¦¨-÷ ¬ ⨬¥ - «®£÷ç-ã ¡«®ª®¢ã áâàãªâãàã § - «¥¦-®ù -㬥à æ÷ù à浪÷¢ â á⮢¯æ÷¢ (¯®¢¥à-÷¬®áì ¤® æ쮣® ¯¨â --ï, ª®«¨ ஧- £«ï¤ ⨬¥¬® ä ªâ®à-¬-®¦¨-¨).
‚¯à ¢ 3.11. „®¢¥áâ¨, é® ¢á÷ ¢÷¤-®è¥--ï § ¯à¨ª«. 3.20 õ ¢÷¤-®è¥-- -ﬨ ¥ª¢÷¢ «¥-â-®áâ÷.
•à¨ª« ¤ 3.21. •¥å © A { ¬-®¦¨- 箫®¢÷ª÷¢. •®§£«ï-¥¬® â ª¥ ¢÷¤- -®è¥--ï - A:
(xRy) , (y { ¡à â x (§ ®¡®¬ ¡ âìª ¬¨)):
Žç¥¢¨¤-®, ¢÷¤-®è¥--ï R ᨬ¥âà¨ç-¥. •à®â¥ à¥ä«¥ªá¨¢-¨¬ â âà -§¨-
⨢-¨¬ æ¥ ¢÷¤-®è¥--ï ¡ã¤¥ «¨è¥ ⮤÷, ïªé® ¤®¬®¢¨â¨áì, é® ª®¦¥- ç®- «®¢÷ª { ¡à â á ¬®¬ã ᮡ÷.
3.5.2. ‚÷¤-®è¥--ï ¯®à浪ã
Ž§- ç¥--ï 3.6. ‚÷¤-®è¥--ï R : A ! A - §¨¢ îâì ¢÷¤-®è¥--ï¬ ¯®à浪ã (¯®à浪®¬, -¥áâண¨¬ ç á⪮¢¨¬ ¯®à浪®¬), ïªé® R õ ¢®¤-®ç á à¥ä«¥ªá¨¢-¨¬, -â¨á¨¬¥âà¨ç-¨¬ â âà -§¨â¨¢-¨¬. Œ-®¦¨-ã A, - ïª÷© § ¤ -¥ ¢÷¤-®è¥--ï ¯®à浪㠫R», - §¨¢ îâì ç á⪮¢® ¢¯®à浪®¢ -®î. „«ï ç á⪮¢® ¢¯®à浪®¢ -®ù ¬-®¦¨-¨ A § ¢÷¤-®è¥--ï¬ ¯®à浪㠫R» ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨬¥¬® ¯®§- ç¥--ï hA; Ri.
•÷¤ ç á ஡®â¨ § ¡áâà ªâ-¨¬ ¢÷¤-®è¥--ï¬ ¯®à浪ã R ¤«ï ¢¨á«®- ¢«¥--ï xRy ¯à¨©-ïâ® ¯®§- ç¥--ï x ¹ y (x ¯¥à¥¤ãõ y, y á«÷¤ãõ § x).
•¤ «÷ ¡ã¤¥¬® â ª®¦ ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨠⠪÷ ¯®§- ç¥--ï:
²(x º y) , (y ¹ x);
²(x Á y) , ((x ¹ y) ^ (x 6= y));
²(x  y) , (y Á x).
•à¨ª« ¤ 3.22. 1. •¥å © A { ¤®¢÷«ì- ¬-®¦¨- . ’®â®¦-¥ ¢÷¤-®è¥--ï
IA õ ¢÷¤-®è¥--ï¬ ¯®à浪ã - A.
2. •¥å © A = R. ‚÷¤-®è¥--ï «·» â «¸» { ¢÷¤-®è¥--ï ¯®à浪ã - R,
47
•®§¤÷« 3. ’¥®à÷ï ¢÷¤-®è¥-ì
®¤- ª ¢÷¤-®è¥--ï «<» â «>» -¥ õ ¢÷¤-®è¥--ﬨ ¯®à浪ã (-¥ ¢¨ª®-ãõ-
âìáï ¢¨¬®£ à¥ä«¥ªá¨¢-®áâ÷).
3. •¥å © A { ¬-®¦¨- 箫®¢÷ª÷¢. •®§£«ï-¥¬® â ª¥ ¢÷¤-®è¥--ï - A:
(x ¹ y) , (y { ¯à¥¤®ª ¤«ï x):
Ÿªé® ¢¢ ¦ ⨠«î¤¨-㠯।ª®¬ á ¬®ù ᥡ¥, ¢¢¥¤¥-¥ ¢÷¤-®è¥--ï õ ¢÷¤-®- |
|
è¥--ï¬ ¯®à浪ã. |
|
‚¯à ¢ 3.12. „®¢¥áâ¨, é® ¢á÷ ¢÷¤-®è¥--ï § ¯à¨ª«. 3.22, § |
¢¨-ï⪮¬ |
«<» â «>» - R, õ ¢÷¤-®è¥--ﬨ ¯®à浪ã. |
|
Ž§- ç¥--ï 3.7. •¥å © hA; ¹i { ç á⪮¢® ¢¯®à浪®¢ - |
¬-®¦¨- . |
…«¥¬¥-⨠x; y 2 A - §¨¢ îâì ¯®à÷¢-ï--¨¬¨, ïªé® (x ¹ y) _ (y ¹ x).
Ÿªé® ¡ã¤ì-ïª÷ ¥«¥¬¥-⨠x; y 2 A õ ¯®à÷¢-ï--¨¬¨, ¢÷¤-®è¥--ï «¹» - §¨-
¢ îâì ¢÷¤-®è¥--ï¬ «÷-÷©-®£® ¯®à浪ã («÷-÷©-¨¬ ¯®à浪®¬), ¬-®¦¨-ã A { «÷-÷©-® ¢¯®à浪®¢ -®î.
•à¨ª« ¤ 3.23. 1. ‹¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ç á⪮¢® ¢¯®à浪®¢ -÷ ¬-®- ¦¨-¨ hR; ·i â hR; ¸i õ «÷-÷©-® ¢¯®à浪®¢ -¨¬¨.
2. •¥å © U { ¤®¢÷«ì- ¬-®¦¨- . ‹¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® h2U ; ½i õ ç áâ-
ª®¢® ¢¯®à浪®¢ -®î ¬-®¦¨-®î. •à®â¥, ¢ § £ «ì-®¬ã ¢¨¯ ¤ªã, ¢÷¤-®- |
||||||
è¥--ï «½» -¥ Uõ |
«÷-÷©-¨¬ ¯®à浪®¬. ’ ª, ¯à¨ |
|
|
, ¥«¥¬¥-⨠|
||
-¥ õ ¯®à÷¢-ï--¨¬¨. |
|
U = fa; b; cg |
||||
fa; bg; fb; cg 2 2 |
|
஧£«ï-¥¬® ¢÷¤-®è¥--ï ç á⪮¢®£® ( «¥ -¥ «÷-÷©-®- |
||||
3. • ¬-®¦¨-÷ R2 |
|
|
|
|
|
|
£®) ¯®à浪ã: |
|
|
|
|
|
|
((x1; x2) ¹ (y1; y2)) , ((x1 · y1) ^ (x2 · y2)): |
||||||
’ ª, - ¯à¨ª« ¤, |
(0; 1) ¹ (1; 1) ¹ (2; 1). ‹¥£ª® ¯¥à¥ |
¢÷à¨â¨, é® ¢¢¥¤¥-¥ |
||||
|
|
2 ÷á-ãîâì -¥¯®à÷¢- |
||||
¢÷¤-®è¥--ï õ ç á⪮¢¨¬ ¯®à浪®¬, |
«¥, §à®§ã¬÷«®, ¢ R |
|
||||
-ï--÷ ¥«¥¬¥-⨠(- ¯à¨ª« ¤, (1; 0) â |
(0; 1)). |
|
|
|
||
4. • ¬-®¦¨-÷ R2 ஧£«ï-¥¬® ¢÷¤-®è¥--ï «÷-÷©-®£® ¯®à浪ã
((x1; x2) ¹ (y1; y2)) , ((x1 < y1) _ ((x1 = y1) ^ (x2 · y2))):
’ ª, - ¯à¨ª« ¤, (0; 1) ¹ (1; 0). ‚¢¥¤¥-¥ ¢÷¤-®è¥--ï - §¨¢ îâì «¥ªá¨ª®- £à ä÷ç-¨¬ 㯮à浪㢠--ï¬ (¯®à÷¢-ï©â¥ § 㯮à浪㢠--ï¬ ¤¢®«÷â¥à-¨å
48