Spektorsky_diskretka
.pdf
6.13. ƒ®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯: ⥮६¨ ¯à® ï¤à® â ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã
‚÷¤®¡à ¦¥--ï f õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬ ÷§ £à㯨 |
hG; ¢i |
ã âã á ¬ã £àã- |
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¯ã hG; ¢i: |
µ b1 |
a2¶ |
¢ µd c2¶ |
= µbc1 |
|
|
a2c2¶; |
|
|
|||
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+ da2 |
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a |
0 |
c1 |
0 |
|
a1c1 |
|
0 |
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¶ |
|
|
µ |
|
¶ µ |
|
|
¶ |
µ |
|
¶ µ |
|
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f : |
a1c1 |
0 |
7! |
a1c1 |
0 |
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= |
a1 |
0 |
¢ |
c1 0 |
: |
bc1 + da2 a2c2 |
0 a2c2 |
|
0 a2 |
0 c2 |
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Ž¡à §®¬ ãáâ -®¢«¥-®£® £®¬®¬®àä÷§¬ã, ®ç¥¢¨¤-®, õ ¬-®¦¨- -¥¢¨à®¤- |
||
¦¥-¨å ¤÷ £®- «ì-¨å ¬ âà¨æì ஧¬÷஬ 2 £ 2: |
|
|
Imf = ½µ 01 |
a2¶: a1a2 6= 0¾ |
: |
a |
0 |
|
‹¥£ª® ¯¥а¥¢ча¨в¨, ª®а¨бвгоз¨бм в¥®а¥¬®о 6.14, é® Imf -¥ õ -®à¬ «ì- -¨¬ ¤÷«ì-¨ª®¬ (å®ç ÷ õ ¯÷¤£à㯮î) ¢ hG; ¢i:
|
|
µ1 |
|
1¶ |
2 G; |
|
µ0 |
2¶ 2 Imf ; |
|
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µ1 |
1¶ |
1 |
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0 |
2¶ |
|
µ1 |
1 |
0 |
µ1 |
2¶ |
|
|
¡1 |
¢ |
µ0 |
¢ |
1¶ |
= |
2= Imf : |
|||||||
1 |
0 |
|
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1 |
0 |
|
1 |
0 |
|
1 |
0 |
|
|
‚¯а ¢ 6.20. Š®а¨бвгоз¨бм в¥®а¥¬®о 6.14, ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ï¤à®
Kerf = |
½µb |
1¶ |
: b 2 R¾ |
|
1 |
0 |
|
¤÷©á-® õ -®à¬ «ì-¨¬ ¤÷«ì-¨ª®¬ ¢ hG; ¢i, |
«¥ -¥ õ -®à¬ «ì-¨¬ ¤÷«ì-¨ª®¬ |
||
(å®ç ÷ õ ¯÷¤£à㯮î) ¢ GL2. |
|
|
|
•áâã¯-¨© ¯à¨ª« ¤ ¤ã¦¥ ¢ ¦«¨¢¨©, ®áª÷«ìª¨, ã ¯¥¢-®¬ã ஧ã¬÷--÷,
¤õ ¯®¢-¨© ®¯¨á ãá÷å -®à¬ «ì-¨å ¤÷«ì-¨ª÷¢ ¤ -®ù £à㯨.
•à¨ª« ¤ 6.55. •¥å © hG; ¤i { ¤®¢÷«ì- £à㯠§ -¥©âà «ì-¨¬ ¥«¥¬¥-- ⮬ e 2 G, H C G. •®§£«ï-¥¬® ¢÷¤®¡à ¦¥--ï
±
r: G ! G H; r(a) = a:
169
•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯
‹¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® r õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬ § £à㯨 hG; ¤i ã ä ªâ®à-
±
£àã¯ã G H . „÷©á-®, § ¢¨§- ç¥--ï¬ ®¯¥à æ÷ù - ä ªâ®à-£àã¯÷ (á¯÷¢¢÷¤-®- è¥--ï (6.13)), ®âਬãõ¬®
r(x ¤ y) = x ¤ y = x ¤ y = r(x) ¤ r(y):
‚¨§- ç¥-¨© £®¬®¬®àä÷§¬ r - §¨¢ îâì ¯à¨à®¤-¨¬, ¡® ª -®-÷ç-¨¬. Ž¡ç¨á«¨¬® ï¤à® â ®¡à § ¯à¨à®¤-®£® £®¬®¬®àä÷§¬ã r:
Kerr = fx 2 G: r(x) = e = Hg = fx 2 G: x = eg = fx 2 G: x 2 Hg = H;
±
Imr = fr(x): x 2 Gg = fx: x 2 Gg = G H :
Žâ¦¥, ï¤à® Kerr §¡ч£ хвмбп § -®а¬ «м-¨¬ ¤ч«м-¨ª®¬ H. ’ ª¨¬ ç¨-®¬,
¡ã¤ì-直© -®à¬ «ì-¨© ¤÷«ì-¨ª H £à㯨 hG; ¤i õ ï¤à®¬ ¤¥ïª®£® £®¬®¬®à-
ä÷§¬ã (¯à¨- ©¬-÷, § ï¤à®¬ ¢÷¤¯®¢÷¤-®£® ¯à¨à®¤-®£® £®¬®¬®àä÷§¬ã r), ¢¨§- ç¥-®£® - hG; ¤i.
‡ §- 稬®, é®±®¡à § Imr ¢÷¤®¡à ¦¥--ï ä ªâ®à-£à㯮î G
6.14. ’¥®à¥¬ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯
“ æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ஧£«ï-¥¬® ¢ ¦«¨¢ã ⥮६ã, ïª |
¢áâ -®¢«îõ |
||||
§¢'燐ª ¬÷¦ £®¬®¬®àä÷§¬ ¬¨ £àã¯, -®à¬ «ì-¨¬¨ ¤÷«ì-¨ª ¬¨ ÷ ä ªâ®à- |
|||||
£à㯠¬¨. |
! G2 { £®¬®¬®àä÷§¬ ¬÷¦ £à㯠¬¨ hG1; ¤i (-¥©âà «ì-¨© |
||||
•¥å © f : G1 |
|||||
¥«¥¬¥-â e1) â hG2; ~i (-¥©âà «ì-¨© ¥«¥¬¥-â e2). • £ ¤ õ¬®: |
|
||||
² ï¤à® Kerf |
£®¬®¬®àä÷§¬ã f õ -®à¬ «ì-¨¬ ¤÷«ì-¨ª®¬ ã £àã¯÷ hG1; ¤i, |
||||
|
®¡à § Imf |
£®¬®¬®àä÷§¬ã f õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨± |
Gf2; ~ , |
®â¦¥, ¬®¦- |
|
² |
®â¦¥, ¬®¦- ஧£«ï¤ â¨ ä ªâ®à-£àã¯ã G1 Ker |
; |
|
||
|
h |
|
i |
|
|
|
- ஧£«ï¤ ⨠Imf ïª £àã¯ã hImf ; ~i. |
|
|
|
|
’¥®à¥¬ 6.18 (®á-®¢- |
⥮६ |
¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯). |
|||
1. ” ªâ®à-£à㯠G1±Kerf |
§ ï¤à®¬ |
Kerf |
÷§®¬®àä- ®¡à §ã Imf : |
||
|
G1 |
±Kerf |
» Imf ; |
|
|
170
6.14. ’¥®à¥¬ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯
|
2. öá-ãõ â ª¨© ÷§®¬®àä÷§¬ f: G1 |
±Kerf |
! Imf , é® |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
±Kerf |
|
|
f ± r = f; |
|
|
|
|
|
(6.16) |
||||||
¤¥ r: G1 ! G1 |
{ ¯à¨à®¤-¨© £®¬®¬®àä÷§¬ (8 x 2 G1 : r(x) = |
x |
). |
|||||||||||||||||
è¥--ï¬: |
|
|
|
|
|
|
|
|
f: G1 |
±Kerf |
! Imf |
â ª¨¬ á¯÷¢¢÷¤-®- |
||||||||
|
„®¢¥¤¥--ï. ‡ ¤ ¬® ¢÷¤®¡à ¦¥--ï |
|
|
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|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f( |
x |
) = f(x); |
|
x 2 G1: |
|
(6.17) |
|||||||
¢áâ -®¢«îõ è㪠-¨© ÷§®¬®àä÷§¬ ¬÷¦ £±à㯠¬¨ G1 Kerf |
â Imf . |
|||||||||||||||||||
|
„®¢¥¤¥¬®, é® ¢÷¤®¡à ¦¥--ï f : G1 |
Kerf |
! Imf ¢¨§- ç¥-® ª®à¥ªâ-® ÷ |
|||||||||||||||||
|
1. ‚¨§- ç¥--ï ¢÷¤®¡à ¦¥--ï f : G1 |
Kerf |
! Imf±ç¥à¥§ á¯÷¢¢÷¤-®è¥--ï |
|||||||||||||||||
(6.17) ¯®âॡãõ ®¡óàã-â㢠--ï ª®à¥ªâ-± |
|
|
⮡⮠-¥§ «¥¦-®áâ÷ §- ç¥--ï |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
®áâ÷, |
||||||||
|
|
|
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|
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|
|
||||||
f(x) = f(x) ¢÷¤ ¢¨¡®à㠯।áâ ¢-¨ª |
|
x 2 x. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
•¥å © |
x1 |
= |
x2 |
(x1; x2 2 G1), ⮡⮠¥«¥¬¥-⨠x1 â |
x2 - «¥¦ âì ®¤- |
||||||||||||||
-®¬ã áã¬÷¦-®¬ã ª« áã. “à 客ãîç¨, é® -®à¬ «ì-¨¬ ¤÷«ì-¨ª®¬ õ Kerf , |
|||||||||||||||||||
®âਬãõ¬® |
|
|
|
f(x1) ~ (f(x2))¡1 = f(x1 ¤ x2¡1) = e2; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
®áª÷«ìª¨, § |
«¥¬®î 6.9, x1 ¤ x2¡1 2 Kerf . |
|
|
||||||||||||||||
Žâ¦¥, f(x1) ~ (f(x2))¡1 |
|
= e2, |
|
§¢÷¤ª¨ |
|
®¤à §ã ¢¨¯«¨¢ õ à÷¢-÷áâì |
|||||||||||||
f(x1) = f(x2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||
’ ª¨¬ ç¨-®¬, |
|
|
|
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|
|||
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|||||||||
|
|
|
f(x1) = f(x2) ¯à¨ |
x1 |
= |
x2 |
; |
x1; x2 2 G1; |
|||||||||||
è¥--ï¬ (6.17). |
|
|
|
|
: G1 |
±Kerf |
! Imf |
ª®а¥ªв-® ¢¨§- з хвмбп б¯ч¢¢ч¤-®- |
|||||||||||
⮡⮠¢÷¤®¡à ¦¥--ï f |
|
|
|
(- £ ¤ õ¬®, ± |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
G1 |
Ker â Imf |
|
Imf ஧£«п¤ хвмбп пª ¯ч¤- |
|||||||||||||
2. „®¢¥¤¥¬®, é® ¢÷¤®¡à ¦¥--ï f : G1 Kerf |
! Imf õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬ |
||||||||||||||||||
£à㯠£à㯨 |
|
G2;±~ ,f â®¡â® ïª £à㯠Imf ; ~ ). |
|||||||||||||||||
¬÷¦ £à㯠¬¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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é® |
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h |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
i |
|
|
||
„«ï ¤®¢÷«ì-¨å |
x1 |
; |
x2 |
2 G1 |
±Kerf (x1; x2 2 G1) ®âਬãõ¬® |
||||||||||||||
f(x1 ¤ x2) = f(x1 ¤ x2) = f(x1 ¤ x2) = f(x1) ~ f(x2) = f(x1) ~ f(x2):
Žâ¦¥,
f(x1 ¤ x2) = f(x1) ~ f(x2);
171
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £à㯠|
|
G1 Kerf â Imf . |
|
: G1 |
±Kerf |
! Imf |
õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬ ¬÷¦ £à㯠¬¨ |
||||||
⮡⮠¢÷¤®¡à ¦¥--ï f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
±3. „®¢¥¤¥¬®, é® £®¬®¬®àä÷§¬ f: G1 |
Kerf |
! Imf õ ¬®-®¬®àä÷§¬®¬. |
|||||||||
|
|
2 Kerf |
|
|
2 |
1 |
( |
|
) ± |
2 |
|
•¥å © |
x |
|
, ⮡⮠x |
|
G |
, f |
x |
= f(x) = e . |
|||
“à 客ãîç¨, é® ä ªâ®à¨§ãõ¬® G1 § |
ï¤à®¬ Kerf ÷ -¥©âà «ì-¨¬ ¥«¥- |
||||||||||
õ¬® |
|
|
|
G1±Kerf õ -®à¬ «ì-¨© ¤÷«ì-¨ª Kerf = e1, ®âਬã- |
|||||||
¬¥-⮬ ã ä ªâ®à-£àã¯÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(f(x) = e2) ) (x 2 Kerf ) ) (x = e1 = Kerf ):
Žâ¦¥, õ¤¨-¨¬ ¥«¥¬¥-⮬ x, é® - «¥¦¨âì ï¤àã Ker , õ áã¬÷¦-¨© ª« á
± f
Kerf = e1 { -¥©âà «ì-¨© ¥«¥¬¥-â ä ªâ®à-£à㯨 G1 Kerf :
Kerf = ©e1 ª = f Kerf g:
|{z}
e1
–¥ ®§- ç õ âਢ÷ «ì-÷áâì ï¤à £®¬®¬®àä÷§¬ã f, ®â¦¥, § ⥮à¥- |
|
¬®î 6.16, £®¬®¬®àä÷§¬ f õ ¬®-®¬®àä÷§¬®¬. |
! Imf õ ¥¯÷¬®àä÷§¬®¬. |
4. „®¢¥¤¥¬®, é® £®¬®¬®àä÷§¬ f: G1±Kerf |
|
‡ä÷ªáãõ¬® ¤®¢÷«ì-¨© ¥«¥¬¥-â y 2 Imf . “à 客ãîç¨ ¢¨§- ç¥--ï ®¡-
à§ã ¢÷¤®¡à ¦¥--ï ¢¢ ¦ ⨬¥¬®, é® y = f(x), ¤¥ x 2 G1. ‡ ¢¨§- ç¥--ï¬ ¢÷¤®¡à ¦¥--ï f (á¯÷¢¢÷¤-®è¥--ï (6.17)) ®âਬãõ¬®
y = f(x) = f(x); x 2 G1±Kerf ;
⮡⮠y 2 Imf. Žâ¦¥, ¤®¢¥¤¥-® áîà'õªâ¨¢-÷áâì f : G1 Kerf |
! Imf , ⮡⮠|
||||
£®¬®¬®àä÷§¬ f õ ¥¯÷¬®àä÷§¬®¬. |
± |
|
|||
5. „®¢¥¤¥¬® á¯÷¢¢÷¤-®è¥--ï (6.16). |
|
||||
„«ï ¤®¢÷«ì-®£® x 2 G1, § á¯÷¢¢÷¤-®è¥--ï¬ (6.17), ¬ õ¬® |
|||||
|
|
||||
f(x) = f( |
x |
) = f(r(x)) = (f ± r)(x); |
|
||
é® ¤®¢®¤¨âì à÷¢-÷áâì (6.16). |
|
|
Kerf ! Imf , ¢¨§- ç¥-¥ á¯÷¢¢÷¤-®è¥-- |
||
Žâ¦¥, ¢÷¤®¡à ¦¥--ï f : G1 |
|||||
-ï¬ (6.17), õ ¬®-®- â ¥ |
¯÷¬®àä÷§¬®¬ ( ®â¦¥, © ÷§®¬®àä÷§¬®¬), 直© § - |
||||
|
|
|
± |
|
|
¤®¢®«ì-ïõ 㬮¢ã (6.16). |
|
|
|
|
|
’¢¥à¤¦¥--ï ⥮६¨ ¯®¢-÷áâî ¤®¢¥¤¥-®. |
|
||||
172
6.14. ’¥®à¥¬ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯
- â¨áï, é® -®à¬ «ì-¨© ¤÷«ì-¨ª |
GLn±SLn . ‹¥£ª® ¯¥à¥ª®- |
•à¨ª« ¤ 6.56. 1. •®§£«ï-¥¬® ä ªâ®à-£àã¯ã |
|
SLn = fA 2 GLn : jAj = 1g
õ ï¤à®¬ £®¬®¬®àä÷§¬ã f(A) = jAj, 直© ¤÷õ § GLn ¤® ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢-®ù £à㯨 ¤÷©á-¨å ç¨á¥«:
f : GLn ! R¤; f(A) = jAj; Kerf = fA 2 GLn : jAj = 1g = SLn:
Ž¡ç¨á«¨¬® ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã f. “à 客ãîç¨, é® ¤«ï ¡ã¤ì-类£® a =6 0 ÷á-ãõ ¯à¨- ©¬-÷ ®¤- ¬ âà¨æï A 2 GLn § ¢¨§- ç-¨ª®¬ jAj = a,
®âਬãõ¬® |
Imf = fjAj: A 2 GLng = R¤: |
|
Žâ¦¥, § ⥮६®î 6.18 ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯, ®âਬãõ¬® ÷§®¬®àä- |
|||||
-÷áâì |
|
|
|
|
|
’ ª¨¬ ç¨-®¬, ¯÷¤â¢¥à¤¦¥-® à±¥§ã«ìâ â, ®âਬ -¨© ᪫ ¤-÷訬¨ ®¡- |
|||||
|
|
GLn |
SLn » R¤: |
|
|
ç¨á«¥--ﬨ ¢ ¯à¨ª«. 6.44. |
|
|
|
||
|
n ¸ 2. ‹¥£ª® ¯¥à¥ª®- â¨áï,±é® -®à¬ «ì-¨© ¤÷«ì-¨ª |
||||
2. •®§£«ï-¥¬® ä ªâ®à-£àã¯ã Sn |
An , ®¡¬¥¦¨¢è¨áì -¥âਢ÷ «ì-¨¬ ¢¨- |
||||
¯ ¤ª®¬ |
|
|
|
||
|
|
An = fc 2 Sn : k(c) = 0g |
|
||
õ ï¤à®¬ £®¬®¬®àä÷§¬ã k(c), é® ¤÷õ § Sn ã £àã¯ã hf0; 1g; ©i: |
|||||
k: Sn |
! f0; 1g; k(c) = (1; |
ïªé® c -¥¯ à- ; |
Kerk = An: |
||
|
|
0; |
ïªé® c ¯ à- ; |
|
|
Ž¡ç¨á«¨¬® ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã k:
Imk = fk(c): c 2 Sng = f0; 1g:
(¯à¨ n ¸ 2 ¬-®¦¨- Sn ¬÷áâ¨âì ¯à¨- ©¬-÷
-¥¯ à-ã ¯÷¤áâ -®¢ªã). Žâ¦¥, § ⥮६®î ®âਬãõ¬® ÷§®¬®àä-÷áâì
Sn±An » hf0; 1g;
®¤-ã ¯ à-ã â ¯à¨- ©¬-÷ ®¤-ã 6.18 ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯,
©i :
173
|
|
|
|
|
|
|
|
•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £à㯠|
|
||||||
“à 客ãîç¨ ®ç¥¢¨¤-ã ÷§®¬®àä-÷áâì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
hf0; 1g; ©i » Z2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 7!0; 1 7!1; |
|
|
|
|||||||||||
¤÷áâ -¥¬® |
Sn An |
» hf0; 1g; ©i » Z2: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
Žâ¦¥, ¯÷¤â¢¥à¤¦¥-® १ã«ìâ± |
â, ®âਬ -¨© ᪫ ¤-÷訬¨ ®¡ç¨á«¥--ï- |
|
|||||||||||||
¬¨ ¢ ¯à¨ª«. 6.45. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= C n f0g |
|||
3. •®§£«ï-¥¬® ä ªâ®à-£àã¯ã ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢-®ù £à㯨 C¤ |
|||||||||||||||
§ -®à¬ «ì-®î ¯÷¤£à㯮î z |
2 C |
¤ : |
j |
z |
j |
= 1 . ‹¥£ª® ¯¥à¥ª®- â¨áï, é® |
|||||||||
|
f |
|
|
|
|
g |
|
¢ |
|
||||||
-®à¬ «ì-¨© ¤÷«ì-¨ª õ ï¤à®¬ £®¬®¬®àä÷§¬ã f(z) = jzj, 直© ¤÷õ § C¤ |
|
|
|||||||||||||
¬ã«ì⨯«÷ª ⨢-ã £àã¯ã ¤÷©á-¨å ç¨á¥«: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
f : C¤ ! R¤; f(z) = jzj; |
|
Kerf = fz 2 C¤ : jzj = 1g: |
|
|
|
|||||||||
Ž¡ç¨á«¨¬® ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã f: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Imf = fjzj: z 2 C¤g = (0; +1): |
|
|
|
|||||||||||
Žâ¦¥, § ⥮६®î 6.18 ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯, ®¤¥à¦¨¬® ÷§®¬®àä- |
||||||||||||||||
-÷áâì |
C¤ |
|
|
C¤: z |
|
|
|
» h(0; +1); ¢i : |
||||||||
|
z |
2 |
j |
=1 |
g |
|||||||||||
|
|
f |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. •®§£«ï-¥¬® ä ªâ®à±-£àã¯ã ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢-®ù £à㯨 C¤ § -®à¬ «ì- |
||||||||||||||||
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ª® ¯¥à¥ª®- â¨áï, é® -®à¬ «ì-¨© ¤÷«ì-¨ª õ |
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¢ ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢-ã £àã¯ã |
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f : C¤ ! fz 2 C¤ : jzj = 1g; |
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f(z) = |
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Imf = |
½jzj : z 2 C¤g = fz 2 C¤ : jzj = 1¾ |
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z |
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Žâ¦¥, § ⥮६®î 6.18 ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯, ®âਬãõ¬® ÷§®¬®àä-÷áâì
±
C¤ (0;+1) » hfz 2 C¤ : jzj = 1g; ¢i :
174
6.14. ’¥®à¥¬ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯
’¥®à¥¬ |
6.18 ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £à㯠㠡 £ âì®å ¯à ªâ¨ç-¨å ¢¨¯ ¤- |
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ª å (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.56) ¤®§¢®«ïõ, -¥ ®¡ç¨á«îîç¨ ä ªâ®à-£àã¯ã hG1; ¤i |
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£à㯮î hG2 |
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- â ª®¦ ᪮à¨áâ â¨áï ⥮६®î 6.18. |
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•à¨ª« ¤ 6.57. ‚¨ª®à¨á⮢ãîç¨ á¯÷¢¢÷¤-®è¥--ï (6.16), ¢¨¯¨è¥¬® |
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ï¢-¨© ¢¨£«ï¤ ÷§®¬®àä÷§¬ã f |
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(A) = |
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( (A)) = jAj; A 2 GLn: |
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„ «÷, ãà 客ãîç¨ ¡÷õªâ¨¢-÷áâì f±: GLn±SLn ! R¤, ¤÷áâ -¥¬® ï¢-¨© ¢¨£«ï¤ ¥«¥¬¥-â÷¢ ä ªâ®à-£à㯨 GLn SLn , ⮡⮠ï¢-¨© ¢¨£«ï¤ áã¬÷¦-¨å
ª« á÷¢ A (A 2 GLn):
A = fX 2 GLn : X 2 Ag = fX 2 GLn : X = Ag = = fX 2 GLn : f(X) = f(A)g = fX 2 GLn : jXj = jAjg:
“à 客ãîç¨, é® ¤«ï ¡ã¤ì-类£® a 6= 0 ÷á-ãõ ¯à¨- ©¬-÷ ®¤- ¬ âà¨æï
A 2 GLn § ¢¨§- ç-¨ª®¬ jAj = a, ¬®¦¥¬® ¢¨¯¨á ⨠§ £ «ì-¨© ¢¨£«ï¤ áã¬÷¦-¨å ª« á÷¢ GLn § SLn:
Aa = fX 2 GLn : jXj = ag; a =6 0:
Žâ¦¥, ¯÷¤â¢¥à¤¦¥-® १ã«ìâ â, ®âਬ -¨© ¤¥é® ᪫ ¤-÷訬¨ ®¡ç¨á- «¥--ﬨ ¢ ¯à¨ª«. 6.44: GLn±SLn = fAa : a 6= 0g:
•÷±- à-ã ®¯¥à æ÷î â ¯à ¢¨«® ®¡ç¨á«¥--ï ®¡¥à-¥-®£® ã ä ªâ®à-£àã¯÷ GLn SLn «¥£ª® ¢áâ -®¢¨â¨ ç¥à¥§ ÷§®¬®àä÷§¬ f:
f(Aa1 ¢ Aa2 ) = f(Aa1 ) ¢ f(Aa2 ) = a1 ¢ a2 = f(Aa1¢a2 )
+
µ Aa1 ¢ Aa2 = Aa1a2 ; ¶ µ ¶ f ¡(Aa)¡1¢ = (f(Aa))¡1 = a¡1 = f (Aa¡1 ) ) (Aa)¡1 = Aa¡1 :
175
•®§¤÷« 6. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù £àã¯
Žва¨¬ -¨© а¥§г«мв в §¡ч£ хвмбп § а¥§г«мв ⮬ ¯а¨ª«. 6.47.
Žâ¦¥, § ¢¤ïª¨ ¢¨ª®à¨áâ --î ⥮౥¬¨ 6.18, ¯®¢-÷áâî ¯÷¤â¢¥à¤¦¥-® १ã«ìâ ⨠áâ®á®¢-® ä ªâ®à-£à㯨 GLn SLn, ®âਬ -÷ ¢ ¯à¨ª«. 6.44 â 6.47.
Ÿª ¯®ª §ãõ - ¢¥¤¥-¨© ¯à¨ª« ¤, ã ¤¥ïª¨å ¯à ªâ¨ç-¨å ¢¨¯ ¤ª å ¢¨- ª®à¨áâ --ï ⥮६¨ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £à㯠á¯à®éãõ ï¢-¥ ®¡ç¨á«¥--ï ä ªâ®à-£à㯨, ®áª÷«ìª¨ ¤®§¢®«ïõ ã-¨ª-ã⨠¡¥§¯®á¥à¥¤-쮣® ®¡ç¨á«¥--ï áã¬÷¦-¨å ª« á÷¢.
„¥пªч ч-ич ¢ ¦«¨¢ч в¥®а¥¬¨ ¯а® £®¬®¬®адч§¬¨ £аг¯, пªч б¯а®йговм ®¡з¨б«¥--п д ªв®а-£аг¯, ¬®¦- §- ©в¨, - ¯а¨ª« ¤, г а®¡®вч [10].
176
•®§¤÷« 7
…«¥¬¥-⨠⥮à÷ù ª÷«¥æì
7.1. ‚¨§- ç¥--ï ⠯ਪ« ¤¨ ª÷«¥æì
Š÷«ìæ¥ { ®á-®¢-¨© ®¡'õªâ ஧£«ï¤ã ¢ æ쮬ã ஧¤÷«÷ { ¯à¨ª« ¤ «£¥¡- à¨ç-®ù áâàãªâãਠ§ ¤¢®¬ ¡÷- à-¨¬¨ ®¯¥à æ÷ﬨ.
Ž§- ç¥--ï 7.1. Š÷«ì楬 - §¨¢ îâì «£¥¡à¨ç-ã áâàãªâãàã hR; +; ¢i ÷§ § ¬ª-¥-¨¬¨ ¡÷- à-¨¬¨ ®¯¥à æ÷ﬨ «+» (¤®¤ ¢ --ï) â «¢» (¬-®¦¥--ï), ¢¨§- ç¥-¨¬¨ - ¬-®¦¨-÷ R 6= ?, ïª÷ § ¤®¢®«ì-ïîâì 㬮¢¨:
1) |
8 a; b; c 2 R: (a + b) + c = a + (b + c) ( á®æ÷ ⨢-÷áâì ¤®¤ ¢ --ï); |
|
2) |
8 a; b 2 R: a + b = b + a (ª®¬ãâ ⨢-÷áâì ¤®¤ ¢ --ï); |
|
3) 9 0 2 R 8 a 2 R: a + 0 = a (÷á-㢠--ï -¥©âà «ì-®£® § |
¤®¤ ¢ --ï¬); |
|
4) |
8 a 2 R 9¡a 2 R : a + (¡a) = 0 (÷á-㢠--ï |
®¡¥à-¥-¨å § |
¤®¤ ¢ --ï¬); |
|
|
5) |
8 a; b; c 2 R: (a ¢ b) ¢ c = a ¢ (b ¢ c) ( á®æ÷ ⨢-÷áâì ¬-®¦¥--ï); |
|
6) 8 a; b; c 2 R : (a + b) ¢ c = (a ¢ c) + (b ¢ c); c ¢ (a + b) = (c ¢ a) + (c ¢ b)
(¤¨áâਡã⨢-÷áâì ¬-®¦¥--ï ¢÷¤-®á-® ¤®¤ ¢ --ï). |
|
…«¥¬¥-â 0 2 R (-¥©âà «ì-¨© § ¤®¤ ¢ --ï¬) - §¨¢ îâì |
-ã«¥¬ |
ª÷«ìæï. ‡ §- 稬®, é® õ¤¨-÷áâì -ã«ï ª÷«ìæï ïª -¥©âà «ì-®£® § |
¤®¤ - |
¢ --ï¬ ¢¨¯«¨¢ õ § ⥮६¨ 6.1. |
|
…«¥¬¥-â ¡a, ®¡¥à-¥-¨© § ¤®¤ ¢ --ï¬ ¤® a 2 R, - §¨¢ îâì ¯à®â¨- |
|
«¥¦-¨¬ a ¢ ª÷«ìæ÷ R. Žç¥¢¨¤-®, é® õ¤¨-÷áâì ¯à®â¨«¥¦-®£® ¥«¥¬¥-â
¤«ï ä÷ªá®¢ -®£® a 2 R õ ¯à®á⨬ - á«÷¤ª®¬ § ⥮६¨ 6.2.
“¬®¢¨ 1{4 ®§- ç¥--ï 7.1 ¢¨§- ç îâì, é® ª÷«ìæ¥ õ ¡¥«¥¢®î £àã¯®î § ¤®¤ ¢ --ï¬; 㬮¢ 5 ¢¨§- ç õ, é® ª÷«ìæ¥ õ ¯÷¢£à㯮î (¬®¦«¨¢®, -¥ª®- ¬ãâ ⨢-®î) § ¬-®¦¥--ï¬; 㬮¢ 6 ¢¨§- ç õ §¢'燐ª ¬÷¦ ¤®¤ ¢ --ï¬
177
•®§¤÷« 7. …«¥¬¥-⨠⥮à÷ù ª÷«¥æì
÷ ¬-®¦¥--ï¬. Žâ¦¥, 㬮¢¨ ®§- ç¥--ï 7.1 ¤«ï ª÷«ìæï hR; +; ¢i ¬®¦- ¯®-
¤ ⨠㠢¨£«ï¤÷: |
|
|
||
² |
1{4 { «£¥¡à¨ç- |
áâàãªâãà |
hR; +i õ ¡¥«¥¢®î £à㯮î; |
|
² |
5 |
{ «£¥¡à¨ç- |
áâàãªâãà |
hR; ¢i õ ¯÷¢£à㯮î; |
² |
6 |
{ ®¯¥à æ÷ï «¢» ¤¨áâਡã⨢- c¯à ¢ ÷ §«÷¢ ¢÷¤-®á-® «+». |
||
•à¨ª« ¤ 7.1. |
’ ª÷ «£¥¡à¨ç-÷ áâàãªâãਠõ ª÷«ìæﬨ: |
|
|
|||||||
1. €«£¥¡à¨ç- |
áâàãªâãà |
hR; +; ¢i { ª÷«ìæ¥ ¤÷©á-¨å ç¨á¥« § ¯à¨à®¤- |
||||||||
-¨¬¨ ®¯¥à æ÷ﬨ ¤®¤ ¢ --ï â ¬-®¦¥--ï. |
|
|
||||||||
2. €«£¥¡à¨ç- áâàãªâãà |
hZ; +; ¢i { ª÷«ìæ¥ æ÷«¨å ç¨á¥« § |
¯à¨à®¤-¨¬¨ |
||||||||
®¯¥à æ÷ﬨ ¤®¤ ¢ --ï â ¬-®¦¥--ï. |
|
|
|
|||||||
3. €«£¥¡à¨ç- |
áâàãªâãà |
hMn£n; +; ¢i { ª÷«ìæ¥ ¬ âà¨æì n £ n § ¯à¨- |
||||||||
த-¨¬¨ ®¯¥à æ÷ﬨ ¤®¤ ¢ --ï â |
¬-®¦¥--ï. |
|
|
|||||||
4. €«£¥¡à¨ç- |
áâàãªâãà |
hZn; |
+; ¢i |
{ ª÷«ìæ¥ ª« á÷¢ «¨èª÷¢ § |
¬®¤ã- |
|||||
«¥¬ n 2 N (®¯¥à æ÷ù «+» â |
«¢» - Zn ¡ã«® ¢¢¥¤¥-® ¢ ¯÷¤à®§¤. 6.4). |
|||||||||
5. €«£¥¡à¨ç- |
áâàãªâãà |
hR[x]; +; ¢i, ¤¥ R[x] { ¬-®¦¨- |
¬-®£®ç«¥-÷¢ |
|||||||
áª÷-ç¥--®£® á⥯¥-ï - ¤ §¬÷--®î x § ¤ч©б-¨¬¨ ª®¥дчжчх-в ¬¨: |
|
|||||||||
R[x] = fa0 + a1x + a2x2 + ¢ ¢ ¢ + anxn : ak 2 R (1 · k · n); n 2 N [ f0gg: |
||||||||||
Ž¯¥à æ÷ù «+» â «¢» - R[x] |
¢¢®¤ïâì ¯®â®çª®¢® (ç¥à¥§ §- ç¥--ï ¬-®- |
|||||||||
|
|
|
|
n |
||||||
£®ç«¥-÷¢ ¤«ï ª®¦-®£® x 2 R), ⮡⮠¤«ï ¬-®£®ç«¥-÷¢ a(x) = |
i=0 aixi, |
|||||||||
b(x) = |
m |
j |
¤«ï ä÷ªá®¢ -®£® x 2 R ¢¨§- ç õ¬®: |
|
P |
|||||
=0 bjx |
|
|
|
|||||||
|
jP |
|
|
|
|
|
max(n;m) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a(x) + b(x) = b(x) + a(x) = |
ckxk; ¤¥ ck = ak + bk; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+m |
|
|
|
|
a(x) ¢ b(x) = b(x) ¢ a(x) = |
k=0 |
ckxk; ¤¥ ck = |
aibj; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i;j: i+j=k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
X |
|
|
¢¢ ¦ îç¨ ak = 0 ¯à¨ k > n, bk = 0 ¯à¨ k > m. |
|
|
||||||||
6. €«£¥¡à¨ç- |
áâàãªâãà |
hS; M; \i, ¤¥ S { ª÷«ìæ¥ ¬-®¦¨-. • £ ¤ õ¬® |
||||||||
(¤¨¢. ¯÷¤à®§¤. 2.5), é® ª÷«ì楬 ¬-®¦¨- - §¨¢ îâì -¥¯®à®¦-î áãªã¯-÷áâì ¬-®¦¨- S, § ¬ª-¥-ã ¢÷¤-®á-® ®¯¥à æ÷© ᨬ¥âà¨ç-®ù à÷§-¨æ÷ â ¯¥à¥â¨-ã.
178