Молекулярная физика

Составитель В.Л. Фурер Под редакцией В.В. Алексеева, Л.И. Маклакова

УДК 530.1

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА, ТЕРМОДИНАМИКА. Методические указания к решению задач по физике для студентов специальностей 2903, 2906, 2907, 2908, 2910/ Казанская государственная архитектурно- строительная академия; Сост. В.Л. Фурер. Под редакцией В.В. Алексеева, Л.И. Маклакова. Казань, 1998 г. 18 с.

В работе приведены условия задач и основные формулы, необходи- мые для их решения.

Рецензент доцент кафедры молекулярной физики Казанского госуниверситета Пименов Г.Г.

Идеальные газы подчиняются уравнению состояния Менделеева-

Клапейрона

pV = mm RT ,

где p - давление газа; V - его объем; T - термодинамическая температура; m - масса газа; μ - молярная масса газа; R = 8,31 Дж/(моль×К) - газовая по- стоянная; отношение ν = mμ дает количество газа.

По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме их парциаль- ных давлений, т.е. тех давлений, которые имел бы каждый из газов в от- дельности, если бы он при данной температуре один заполнял весь объем.

Основное уравнение кинетической теории газов имеет вид

где n - число молекул в единице объема; W0 - средняя кинетическая энер- гия поступательного движения одной молекулы; m0 - масса молекулы;

υ2 - средняя квадратичная скорость молекул. Эти величины определя-

ются следующими формулами: число молекул в единице объема n = p/(kT),

где k = R/N = 1,38×10-23 Дж/К - постоянная Больцмана; N = 6,02×1023 моль-1 - постоянная Авогадро; средняя кинетическая энергия поступательного

движения одной молекулы

W0 = 23 kT;

средняя квадратичная скорость молекул

υ2 = 3RTm .

Энергия теплового движения молекул (внутренняя энергия) газа

W = 2i mm RT ,

где i - число степеней свободы молекул.

Связь между молярной C и удельной c теплоемкостями следует из их определения:

C = mc.

Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме:

i CV = 2 R;

молярная теплоемкость при постоянном давлении:

Cp = CV + R.

Отсюда следует, что молярная теплоемкость C определяется числом степе- ней свободы i молекул газа:

для одноатомного газа (i = 3)

CV = 12,5 Дж/(моль×К), Cp = 20,8 Дж/(моль×К);

для двухатомного газа (i = 5)

CV = 20,8 Дж/(моль×К), Cp = 29,1 Дж/(моль×К);

для многоатомного газа (i = 6)

CV = 24,9 Дж/(моль×К), Cp = 33,2 Дж/(моль×К).

Закон Максвелла распределения молекул по скоростям позволяет найти наиболее вероятную скорость молекул υв = 2RTμ и среднюю

арифметическую скорость молекул

u = 8RTpm .

Первое начало термодинамики может быть записано в виде dQ = dW + dA,

где dQ - количество теплоты, полученное газом; dW - изменение внутрен- ней энергии газа; dA = p×dV - работа, совершаемая газом при изменении его объема. Изменение внутренней энергии газа

dW = 2i mm RdT ,

где dT - изменение температуры. Полная работа, совершаемая при измене- нии объема газа,

V 2

A = ò pdV .

V 1

Работа, совершаемая при изотермическом изменении объема газа,

Давление газа и его объем связаны при адиабатическом процессе уравне-

нием Пуассона

где показатель адиабаты γ = cpcV . Уравнение Пуассона может быть запи-

Работа, совершаемая при адиабатическом изменении объема газа, может

быть найдена по формуле

где p1 и V1 - давление и объем газа при температуре T1 .

Уравнение политропического процесса имеет вид

pV n = const, или p1V 1n = p2V 2n ,

где n - показатель политропы (1 < n < γ).

Коэффициент полезного действия (к.п.д.) тепловой машины

h = Q1 - Q2 ,

Q1

где Q1− количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя; Q2 − количество теплоты, отданное холодильнику. Для идеального цикла

Карно

η = T1 − T 2 ,

T1

где T1 и T 2 − термодинамические температуры нагревателя и холодильни-

ка.

Разность энтропий S B − S A двух состояний B и A определяется

формулой

− = B dQ

S B S A òA T .

1. УРАВНЕНИЕ МЕНДЕЛЕЕВА-КЛАПЕЙРОНА

1(5.1). Какую температуру t имеет масса m = 2 г азота, занимающего объем V= 820 см3 при давлении p = 0,2 МПа?

2(5.2). Какой объем V занимает масса m = 10 г кислорода при давле- нии p = 100 кПА и температуре t = 20° C?

3(5.3). Баллон объемом V = 12 л наполнен азотом при давлении

p = 8,1 МПа и температуре t = 17° С. Какая масса m азота находится в бал- лоне?

4(5.4). Давление воздуха внутри плотно закупоренной бутылки при температуре t1= 7° С было p1= 100 кПа. При нагревании бутылки пробка вылетела. До какой температуры t2 нагрели бутылку, если известно, что пробка вылетела при давлении воздуха в бутылке p2 = 130 кПа?

5(5.5). Каким должен быть наименьший объем V баллона, вмещаю- щего массу m = 6,4 кг кислорода, если его стенки при температуре

t = 20° С выдерживают давление p = 15,7 МПа?

6(5.6). В баллоне находилась масса m1 = 10 кг газа при давлении

p1 = 10 МПа. Какую массу m газа взяли из баллона, если давление стало равным p2 = 2,5 МПа? Температуру газа считать постоянной.

7(5.7). Найти массу m сернистого газа (SO2), занимающего объем V = 25 л при температуре t = 27° С и давлении p = 100 кПа.

8(5.8). Найти массу m воздуха, заполняющего аудиторию высотой

h = 5 м и площадью пола S = 200 м2. Давление воздуха p = 100 кПа; температура помещения t = 17° С. Молярная масса воздуха μ = 0,029 кг/моль9(5. .9). Во сколько раз плотность r1 воздуха, заполняющего помеще- ние зимой (t1 = 7° С), больше его плотности r2 летом (t2 = 37° С)? Давление газа считать постоянным.

10(5.12). Какое количество ν газа находится в баллоне объемом V = 10 м3 при давлении p = 96 кПа и температуре t = 17° С?

11(5.13). Массу m = 5 г азота, находящуюся в закрытом сосуде объемом V = 4 л при температуре t1 = 20° С, нагревают до температуры t2 = 40° С. Найти давления p1 и p2 газа до и после нагревания.

12(5.17). При температуре t = 50° С давление насыщенного водяного пара p = 12,3 кПа. Найти плотность ρ водяного пара.

13(5.19). Некоторый газ при температуре t = 10° С и давлении

p = 200 кПа имеет плотность ρ = 0,34 кг/м3. Найти молярную массу μ газа. 14(5.20). Сосуд откачан до давления p = 1,33×10-9 Па; температура

воздуха t = 15° С. Найти плотность ρ воздуха в сосуде.

15(5.21). Масса m = 12 г газа занимает объем V = 4 л при температуре t1 = 7° С. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равной ρ = 0,6 кг/м3. До какой температуры t2 нагрели газ?

16(5.23). В запаянном сосуде находится вода, занимающая объем, равный половине объема сосуда. Найти давление p и плотность ρ водяного пара при температуре t = 400° С, зная, что при этой температуре вся вода обращается в пар.

17(5.28). В сосуде находятся масса m1 = 14 г азота и масса m2 = 9 г водорода при температуре t = 10° С и давлении p = 1 МПа. Найти моляр- ную массу μ смеси и объем V сосуда.

18(5.29). Закрытый сосуд объемом V = 2 л наполнен воздухом при нормальных условиях. В сосуд вводится диэтиловый эфир (C2H5 OC2H5). После того как весь эфир испарился, давление в сосуде стало равным

p = 0,14 МПа. Какая масса m эфира была введена в сосуд?

19(5.32). В воздухе содержится 23,6% кислорода и 76,4% азота (по массе) при давлении p = 100 кПа и температуре t = 13° С. Найти плотность ρ воздуха и парциальные давления p1 и p2 кислорода и азота.

20(5.33). В сосуде находится масса m1 = 10 г углекислого газа и масса m2 = 15 г азота. Найти плотность ρ смеси при температуре t = 27° С и дав- лении p = 150 кПа.

2. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

1(5.34). Найти массу m0 атома: а) водорода; б) гелия.

2(5.36). Молекула аргона, летящая со скоростью v = 500 м/с, упруго ударяется о стенку сосуда. Направление скорости и нормаль к стенке сосу- да составляют угол a = 60°. Найти импульс F×Dt, полученный стенкой со- суда за время удара.

3(5.38). Какое число молекул n содержит единица массы водяного

пара?

4(5.39). В сосуде объемом V = 4 л находится масса m = 1 г водорода. Какое число молекул n содержит единица объема сосуда?

5(5.40). Какое число молекул N находится в комнате объемом V = 50 м3 при температуре t = 17° С и давлении p = 100 кПа.

6(5.46). Найти среднюю квадратичную скорость υ2 молекул возду-

ха при температуре t = 17° С. Молярная масса воздуха m = 0,029 кг/моль. 7(5.47). Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул

гелия и азота при одинаковых температурах.

8(5.49). Найти число молекул n водорода в единице объема сосуда при давлении p = 266,6 кПа, если средняя квадратичная скорость его моле-

кул υ2 = 2,4 км/с.

9(5.50). Плотность некоторого газа r = 0,06 кг/м3, средняя квадра-

тичная скорость его молекул υ2 = 500 м/с. Найти давление p, которое газ

оказывает на стенки сосуда.

10(5.52). Найти импульс mv молекулы водорода при температуре

t = 20° С. Скорость молекулы считать равной средней квадратичной скоро- сти.

11(5.53). В сосуде объемом V = 2 л находится масса m = 10 г кисло- рода при давлении p = 90,6 кПа. Найти среднюю квадратичную скорость

υ2 молекул газа, число молекул N, находящихся в сосуде, и плотность r

газа.

12(5.55). Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа

υ2 = 450 м/с. Давление газа p = 50 кПа. Найти плотность r газа при этих условиях.

13(5.56). Плотность некоторого газа r = 0,082 кг/м3 при давлении

p = 100 кПа и температуре t = 17° С. Найти среднюю квадратичную ско-

рость υ2 молекул газа. Какова молярная масса μ этого газа?

14(5.59). Найти внутреннюю энергию W массы m = 1 г воздуха при температуре t = 15° С. Молярная масса воздуха μ = 0,029 кг/моль.

15(5.60). Найти энергию WВР вращательного движения молекул, со- держащихся в массе m = 1 кг азота при температуре t = 7° С.

16(5.62). Энергия поступательного движения молекул азота, находя- щегося в баллоне объемом V = 20 л, W = 5 кДж, а средняя квадратичная

скорость его молекул υ2 = 2×103 м/с. Найти массу m азота в баллоне и

давление p, под которым он находится.

17(5.68). Найти отношение удельных теплоемкостей сp/cV для кисло-

рода.

18(5.69). Удельная теплоемкость некоторого двухатомного газа cp = 14,7 кДж/(кг×К). Найти молярную массу μ этого газа.

19(5.70). Плотность некоторого двухатомного газа при нормальных условиях ρ = 1,43 кг/м3. Найти удельные теплоемкости cv и cp этого газа.

20(5.77). Найти отношение cp /cv для газовой смеси, состоящей из массы m1 = 8 г гелия и m2 = 16 г кислорода.

3. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

1(5.80). Масса m = 12 г азота находится в закрытом сосуде объемом V = 2 л при температуре t = 10° С. После нагревания давление в сосуде стало равным p = 1,33 МПа. Какое количество теплоты Q сообщено газу при на- гревании?

2(5.82). В закрытом сосуде находится масса m = 14 г азота при дав- лении p1= 0,1 МПа и температуре t1 = 27° С. После нагревания давление в сосуде повысилось в 5 раз. До какой температуры t2 был нагрет газ? Найти объем V сосуда и количество теплоты Q, сообщенное газу.

3(5.83). Какое количество теплоты Q надо сообщить массе m = 12 г кислорода, чтобы нагреть его на t = 50° C при p = const?

4(5.86). Какую массу m углекислого газа можно нагреть при

p = const от температуры t1 = 20° С до температуры t2 = 100° С количест- вом теплоты Q = 222 Дж? На сколько при этом изменится кинетическая энергия одной молекулы?

5(5.87). В закрытом сосуде объемом V = 2 л находится азот, плот-

ность которого ρ = 1,4 кг/м3. Какое количество теплоты Q надо сообщить азоту, чтобы нагреть его на T = 100° К?

6(5.88). Азот находится в закрытом сосуде объемом V = 3 л при тем- пературе t1 = 27° С и давлении p1 = 0,3 МПа. После нагревания давление в сосуде повысилось до p2 = 2,5 МПа. Найти температуру t2 азота после на- гревания и количество теплоты Q, сообщенное азоту.

7(5.89). Для нагревания некоторой массы газа на t1 = 50° С при

p = const необходимо затратить количество теплоты Q1 = 670 Дж. Если эту же массу газа охладить на t2 = 100° С при V = const, то выделяется коли- чество теплоты Q2 = 1005 Дж. Какое число степеней свободы i имеют мо- лекулы этого газа?

8(5.90). Масса m = 10 г азота находится в закрытом сосуде при тем- пературе t1 = 7° С. Какое количество теплоты Q надо сообщить азоту, что- бы увеличить среднюю квадратичную скорость его молекул вдвое? Во сколько раз при этом изменится температура и давление газа на стенки со- суда?

9(5.91). Гелий находится в закрытом сосуде объемом V = 2 л при температуре t1 = 20° С и давлении p1 = 100 кПа. Какое количество теплоты Q надо сообщить гелию, чтобы повысить его температуру на t = 100° С?

Каковы будут при новой температуре средняя квадратичная скорость

υ2 его молекул, давление p2, плотность гелия и энергия теплового дви-

жения W его молекул.

10(5.92). В закрытом сосуде объемом V = 2 л находится масса m азота и масса m аргона при нормальных условиях. Какое количество теплоты Q надо сообщить, чтобы нагреть газовую смесь на t = 100° С.

11(5.159). Масса m = 10 г кислорода находится при давлении

p = 100 кПа и температуре t = 10° С. После нагревания при p = const газ за- нял объем V = 10 л. Найти количество теплоты Q, полученное газом, изме- нение W внутренней энергии и работу А, совершенную газом при расшире- нии.

12(5.160). Масса m = 6,5 г водорода, находящегося при температуре t = 27° С, расширяется вдвое при p = const за счет притока тепла извне. Найти работу А расширения газа и количество теплоты Q, сообщенное га- зу.