В некоторых случаях искомый интеграл сводится к табличному интегралу или их сумме тождественным преобразованием подынтегральной функции.
Пример 2.
∫ |
cos2x |
dx = ∫ |
cos2 x −sin2 x |
dx = ∫ |
1 |
− 2sin2 x |
dx =∫ |
dx |
|
− 2∫dx = −ctgx − 2x +C. |
|||||||
sin |
2 |
x |
sin |
2 |
x |
|
sin |
2 |
x |
sin |
2 |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
II.Основные методы интегрирования.
1.Метод подстановки
Винтеграле ∫ f (x)dx полагаем x = ϕ(t), dx = ϕ′(t)dt (в предположении, что
ϕ′(t) существует и непрерывна ). После подстановки получим
∫f (x)dx = ∫ f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt = ∫F(t)dt .
Последний интеграл, как правило, является табличным или сводится к нему.
Вычисляем его относительно переменной t, затем возвращаемся к переменной x.
Замечание. В некоторых случаях целесообразнее использовать замену переменной в виде t =ψ(x). Функции t =ψ(x) или
подбирать так, чтобы после подстановки выражение под знаком интеграла тождествен-
ными преобразованиями приводило исходный интеграл к табличному или их
сумме. Замена t =ψ(x) удобна в интегралах вида
|
∫ f (ψ(x))ψ (x)dx , |
|
|
′ |
|
где ∫ f (t)dt - табличный интеграл. |
|
|
Рассмотрим примеры. |
|
|
Пример 3. |
J = ∫(3x +5)9 dx. |
|
Полагаем 3x +5 = t, тогда |
dt = d(3x +5)= (3x +5)′dx = 3dx, dx = dt 3. |
|
Подставляя, получим |
|
|
|
4 |
5354.ru |
|
|
|
|
|
|
9 dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
1 t10 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|||||||||
|
|
J = ∫t |
|
|
|
|
|
= |
|
|
∫t |
|
dt = |
|
|
|
|
|
|
+C = |
|
|
(3x +5) +C. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
3 10 |
30 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = ∫sin(2 −3x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Замена |
t = 2 −3x, dt = d(2 −3x)= −3dx, dx = −dt 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = ∫sin t |
dt |
|
= − |
1 |
∫sin t dt = |
1 cost +C = |
1 cos(2 − |
3x)+C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
Пример 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Имеем t = x2 −a2 , dt = d(x2 −a2 )= (x2 −a2 )′dx = 2xdx, dx = dt 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
∫ |
|
|
|
2xdx |
|
|
|
|
|
|
1 |
∫ |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
J = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
+C = |
|
x2 − a2 |
+C. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
− a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = ∫ |
|
|
|
xdx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Подстановка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t = x2 + a2 , dt = d(x2 + a2 )= (x2 + a2 )′dx = 2xdx, dx = dt 2. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
∫ |
|
2xdx |
|
|
|
|
1 |
∫ |
dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ln(x |
2 |
|
2 |
)+C. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
J |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
ln |
t |
|
+C |
= |
|
|
|
+ a |
|||||||||||||
|
2 |
x |
2 |
+ a |
2 |
|
|
2 |
t |
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
J = ∫sin5 xcos x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Имеем |
t = sin x, |
dt = cos xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
J = ∫t |
5 dt = t6 |
+C = |
1 sin6 |
x +C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Полагаем t = ln x, dt = dx |
|
x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5354.ru |
||