- •I. Неопределенный интеграл и основные формулы интегрирования.
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Таблица интегралов
- •В некоторых случаях искомый интеграл сводится к табличному интегралу или их сумме тождественным преобразованием подынтегральной функции.
- •1. Метод подстановки
- •Имеем
- •2. Метод интегрирования по частям
- •Упражнения.
- •Ш. Интегрирование некоторых классов функций
- •1. Интегрирование рациональных дробей
- •Упражнения.
- •2. Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегралы вида
- •3. Интегрирование простейших иррациональных функций
- •Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене
- •Ответы к упражнениям
- •IV. Индивидуальные задания
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
Вариант 21
1. |
∫x (x |
+1) |
2 |
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dx |
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x3 |
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dx |
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||||||||||||||||||||
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dx , |
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∫ |
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, |
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∫ |
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dx , |
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∫ 1−ctg x |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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cos 2x +sin |
2 |
x |
|
|
|
x |
4 |
|
+ |
1 |
|
|
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|
|
sin |
2 |
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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3x −1 |
|
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|
|
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(1+ e− |
|
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|
)e |
x |
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|
x |
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sin ln x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
∫ |
|
|
dx , |
|
|
|
∫ |
|
x |
|
|
|
dx , |
|
|
|
∫ |
|
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dx , ∫ |
|
dx. |
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x |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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4x |
2 |
+1 |
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x |
2 |
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−8x +17 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
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||||||||||||||||||||||||||
3. |
∫ln(x +1)dx , |
|
|
|
∫(x |
2 |
+1)sin x dx , ∫ |
ln cos x |
|
|
dx , |
|
|
∫x |
5 |
x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
2 |
x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
∫ |
|
4x −1 |
|
|
dx , |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
− x +14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
|
∫ |
|
|
5x2 +12x + 4 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x (x +1) |
|
|
|
|
|
(x + 2)(x −2)2 |
|
|
|
|
|
(x + 2)(x2 + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
∫ |
|
|
x |
dx , |
|
|
|
∫ |
|
|
|
4 − x2 |
|
dx |
, |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
4 + x |
|
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|
|
3 |
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2 |
− |
9 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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(16 + x2 ) |
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|
x x |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
∫(2 +sin x)3 cos x dx , |
|
|
|
|
∫ |
|
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|
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|
dx |
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, ∫sin 2 2x dx , |
|
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|
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∫cos 2x sin 4x dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin |
2 |
|
x |
|
|
1+ctg |
2 |
|
x |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||
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Вариант 22 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
(x −1)2 |
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|
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|
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|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
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|
|
x |
2 |
|
|
|
|
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|
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|
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dx |
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|
|
|
|
|
e |
− |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
1. |
∫ |
|
|
dx , |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
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|
∫ |
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|
|
|
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|
∫ |
x |
|
dx . |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
−cos |
|
|
|
|
|
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|
, |
|
|
|
|
|
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|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3x |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1−ln |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx , |
|
|
∫ |
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
∫ |
3 + x |
|
dx . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
−25x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
− |
3x +3 |
|
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
∫x (cos x −1)dx , |
|
|
|
∫ |
(x2 |
|
+1)e−2x dx , |
|
|
|
|
∫ln |
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
∫arccos2x dx. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
∫ |
|
|
−3x +7 |
|
|
dx , ∫ |
|
|
|
5x −1 |
|
|
dx , |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x −1)(x −2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(x +3)(8x |
+2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
∫x 4 |
|
|
dx , ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
, ∫ |
|
|
|
dx , ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x + |
|
|
|
|
4 + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
1+ e |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
, |
∫ |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
∫cos3x sin x dx . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+sin x |
|
|
(2 +sin x) |
2 |
|
|
|
|
|
3 +sin |
2 |
x |
|
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37 5354.ru
Вариант 23
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2 |
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dx |
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∫x cos(2x |
2 |
)dx , |
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ctg x |
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1. |
∫ |
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x (1 |
+ x) |
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dx , |
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∫ |
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, |
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∫ |
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dx . |
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cos |
2 |
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x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1−9x |
2 |
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2. |
∫ |
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2ex |
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dx , |
∫x2 32x3 dx , ∫ |
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dx |
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, ∫ |
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x −2 |
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dx . |
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1+ 4e |
2x |
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x |
2 |
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+ 4x |
+5 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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4 −3x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
∫xe−3x dx , |
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∫arccos x dx , |
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∫sin |
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dx , |
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∫ln(3x)dx . |
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x |
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4. |
∫ |
2x +1 |
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∫ |
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−3x + 6 |
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dx , ∫ |
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x +1 |
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dx , |
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dx . |
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x (x −1) |
(x +1)(x − 2)2 |
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x (x2 + 4) |
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1+ |
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dx , |
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x2 |
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dx |
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|
d x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
∫ |
4x −1 |
|
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∫ |
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dx , |
|
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∫ |
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, |
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∫ |
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|
. |
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||||||||||||||||||||||||||
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3 |
|
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|
2 |
|
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|
x |
2 |
|
|
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2 |
+ |
9 |
|
|
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1+ x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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4 (4x −1) |
|
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x |
|
−1 |
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|
x |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
∫ |
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dx |
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, |
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∫(1+3sin x)2 cos x dx , |
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∫ |
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dx |
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, |
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∫cos4 x dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1− 2cos x |
|
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4cos |
2 |
x +sin |
2 |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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Вариант 24 |
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1. |
∫ (1+ x)x dx , |
∫ |
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6x |
+32x |
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∫ |
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dx |
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∫ctg x dx . |
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dx , |
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|
, |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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3x |
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(1+ 4x2 ) |
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arctg 2x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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cos x |
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1 x |
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dx |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
∫ |
2 |
|
|
dx , |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
, |
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|
∫ |
|
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|
|
|
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|
dx . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
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|
|
x |
2 |
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|
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|
|
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|
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|
|
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|
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|
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|
x −1 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
8 + 2x |
|
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1+ 25sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
∫x log2 x dx , |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
|
x dx , |
|
|
|
|
3 |
dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||
4. |
∫ |
|
2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
4x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
dx , |
|
|
|
dx , |
|
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|
dx . |
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|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x (x +1) |
x2 (x −1) |
|
(x2 + x + 2) |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
∫ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
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|
|
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|
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|
dx |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
∫ |
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
1− x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x +1 |
|
|
|
x |
|
|
2 |
−1 |
(x |
+ |
|
4) 4x |
2 |
|
|
+1 |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
∫sin3 x cos2 x dx , |
|
|
|
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
, |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
∫cos x sin 2x dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
9cos |
2 |
|
x +sin |
2 |
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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1+tg |
|
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|
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|
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38 5354.ru
Вариант 25
1. |
∫ |
1+ |
|
|
|
x |
|
|
dx , |
|
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
, |
|
|
∫ |
cos |
|
|
|
|
|
x |
|
dx , |
|
∫ |
1+ln x |
dx . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
∫ |
2x + |
3 |
|
dx , |
|
∫x e |
2x2 |
dx , ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
, ∫e |
x3 +x+1 |
(3x |
2 |
+1)dx . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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9 − x |
2 |
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|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
x |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
∫xsin 3x dx , |
|
∫ |
|
|
|
|
dx , |
∫(x |
2 |
+1)ln x dx , |
|
∫arcctg x dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
4x −2 |
|
|
|
dx , |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
, ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x −1)(x + 2) |
|
|
(x +1)(x + 2) |
2 |
|
(x +1)(x |
+ 2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x |
|
|
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|
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dx |
|
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|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
, |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1+ x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
(1− x2 ) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
∫sin 4xsin x dx , |
∫ sin 2 x cos4 x dx , ∫ sin 4 2x dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 +5sin x +3cos x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
Вариант 26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
1. |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ 1+ x dx , ∫ e |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−3 x |
dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2cos |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
, |
|
∫ |
|
|
|
dx |
|
, |
|
|
|
|
|
|
∫ (cos x +sin x) |
2 |
dx . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1+ 4x |
2 |
|
|
|
|
|
x ln |
3 |
x |
|
|
cos |
2 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.∫x ln x dx ,
4.∫(x +12)(xx +3)
∫x e−x dx , |
∫x2 cos 2x dx , |
|
∫ sin ln x dx . |
|
|||||||
dx , ∫ |
|
x2 |
|
dx , |
∫ |
|
9 −5x2 |
|
dx . |
||
(x |
−1) |
2 |
(x + 2) |
|
(x −1)(x − 2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
∫x x +1 dx , ∫ |
∫ |
4 − x |
dx , |
∫ |
|
dx . |
|
||||||||||||
x(1+ |
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|||||||||||||||||
6. |
∫sin 2 x dx , ∫sin 3x sin 2x dx , |
∫sin3 x cos3x dx , ∫ |
|
|
|
dx |
. |
||||||||||||
|
2cos x +sin x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 5354.ru
Вариант 27
1. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∫ |
sin 2x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
|
dx , |
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||
2. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
, ∫ 3tg x |
|
dx |
|
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
||||||||||||
|
1− 4x |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
||||||
3. |
∫(x +1)ln x dx , |
∫x sin 4x dx , |
||||||||||||||||||||
4. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
, |
|
∫ |
|
x2 |
|
|
dx , |
||||||||
|
x (x −1) |
|
(x −1) |
2 |
(x +1) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ x cos x2 dx ,
∫ x2 dxx ,
+ 4 +5
∫ (x −1)e2x dx ,
∫(x2 +1)13 x dx . x +1
∫x2 +1 dx .
∫ex cos x dx .
∫ (2x2 +)(x +3)dx .
x + 2 x +1
5. |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
, |
|
|
∫ |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
dx , |
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
, |
|
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x (x +1) |
|
1− x |
2 |
|
|
x |
2 |
1+ x |
2 |
|
|
|
|
1−e |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6. |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
, ∫ |
|
|
|
|
cos x dx , |
|
|
∫sin 2 x cos2 x dx , |
|
|
|
∫ sin x sin 3x dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 −7 cos x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1. |
∫ |
(1− x)3 |
dx , |
|
∫ |
|
|
2x +3 |
|
dx , |
|
|
∫ |
|
|
sin x |
|
|
|
|
dx , |
|
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1+6cos x |
|
|
|
|
|
9 − 4x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
∫ |
|
, ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx , |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
∫ |
|
x |
|
dx . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
sin |
2x |
|
|
(x2 |
|
|
3 |
|
|
5 |
−4x − x |
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
∫ |
|
x2 +1 dx , |
|
∫arcsin x dx , |
∫ sin ln |
|||
4. |
∫ |
|
x dx |
|
, ∫ |
x2 |
|
|
dx , |
(x +1)(x + 2) |
(x + 2)(x −1) |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
x dx , ∫ x 4x dx .
x2 dx .
∫ (x +1)(x + 2)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9 − x2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x + 3 x2 + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||
5. |
∫ |
|
x |
dx , |
∫ |
|
dx , ∫ |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x (1+ 3 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x6 |
|
|
|
|
(x −1) |
|
|||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||
6. |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
, |
∫ |
|
dx |
|
|
, |
∫ |
sin 25 |
x dx , |
∫sin x cos5x dx . |
|||||||
|
7 cos |
2 |
x +16sin |
2 |
x |
5 + |
4cos x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
x |
|
40 5354.ru