- •Методические указания
- •Часть 1
- •1. Численное решение нелинейных уравнений.
- •1.1. Метод деления отрезка пополам.
- •1.2. Метод Ньютона (метод касательных).
- •1.3. Метод простой итерации.
- •2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •2.1. Метод Гаусса.
- •2.2. Метод обратной матрицы.
- •2.3. Метод прогонки.
- •2.4. Метод простой итерации (метод Якоби).
- •2.5. Метод Зейделя.
- •3. Численные методы решения систем нелинейных уравнений.
- •3.1. Метод простой итерации (метод Якоби).
- •3.2. Метод Зейделя.
- •3.3. Метод Ньютона.
- •Литература
2.4. Метод простой итерации (метод Якоби).
Суть вычислений итерационными методами состоит в следующем: расчет начинается с некоторого заранее выбранного приближения (начального приближения). Вычислительный процесс, использующий матрицу, векторсистемы (2.1) и, приводит к новому вектору:
, (2.11)
Затем процесс повторяется, только вместо используется новое значение. На-м шаге итерационного процесса по получают:
, (2.12)
При выполнении некоторых заранее оговоренных условий процесс сходится при . Сходимость метода простой итерации обеспечивается при выполнении условия преобладания диагональных элементов матрицы A, т.е. при:
, (2.13)
Заданная точность достигается при выполнении условия:
(2.14)
Пример 2.5. Преобразовать систему уравнений:
(2.15)
к виду, пригодному для построения итерационного процесса методом Якоби и выполнить три итерации.
Решение. Достаточное условие сходимости (2.13) выполняется, поэтому начальное приближение может быть любым.
В -ом уравнении все члены, кроме , переносятся в правую часть:
(2.16)
Задается начальное приближение , которое подставляется в правую часть. Обычно , ,и получают результаты первой итерации:
Результаты первой итерации подставляют в правую часть и получают результаты второй итерации:
Результаты второй итерации подставляют в правую часть и получают результаты третьей итерации:
Определяют достигнутую точность
Пример 2.6. Решить систему уравнений методом Якоби с помощью программы Excel с точностью :
Порядок решения.
Представить систему в виде (2.16);
Ввести в ячейки A1:G1, D2:G2 заголовки столбцов (рис. 2.4);
В ячейки A2:C2 – начальное приближение 0, 0, 0;
В ячейку A3 – формулу =(7-4*B2+C2)/7
В ячейку B3 – формулу =(-2-2*A2-3*C2)/6
В ячейку C3 – формулу =(4+A2-B2)/4
В ячейку D3 – формулу погрешности =ABS(A3-A2)
Выделить ячейку D3 и скопировать формулу в соседние ячейки E3:F3 при помощи маркера заполнения;
В ячейку G3 – формулу максимальной погрешности =МАКС(D3:F3)
Выделить ячейки A3:G3 и скопировать формулы в соседние ячейки расположенных ниже строк A4:G4, A5:G5 и т.д. при помощи маркера заполнения. Каждая новая строка содержит результаты очередного приближения;
Ячейки A15, B15, C15 содержат решение системы уравнений, соответствующее заданной точности (G15).
Приближенное решение системы с точностью :
, ,
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
1 |
x1 |
x2 |
x3 |
погрешности | |||
2 |
0 |
0 |
0 |
x1 |
x2 |
x3 |
max |
3 |
1 |
-0,333 |
1 |
1 |
0,3333 |
1 |
1 |
4 |
1,3333 |
-1,167 |
1,3333 |
0,3333 |
0,8333 |
0,3333 |
0,8333 |
5 |
1,8571 |
-1,444 |
1,625 |
0,5238 |
0,2778 |
0,2917 |
0,5238 |
6 |
2,0575 |
-1,765 |
1,8254 |
0,2004 |
0,3204 |
0,2004 |
0,3204 |
7 |
2,2693 |
-1,932 |
1,9556 |
0,2117 |
0,167 |
0,1302 |
0,2117 |
8 |
2,3833 |
-2,068 |
2,0503 |
0,114 |
0,1357 |
0,0947 |
0,1357 |
9 |
2,4744 |
-2,153 |
2,1127 |
0,0911 |
0,0854 |
0,0624 |
0,0911 |
10 |
2,5321 |
-2,214 |
2,1568 |
0,0577 |
0,0616 |
0,0441 |
0,0616 |
11 |
2,5735 |
-2,256 |
2,1866 |
0,0415 |
0,0413 |
0,0298 |
0,0415 |
12 |
2,6014 |
-2,284 |
2,2073 |
0,0278 |
0,0287 |
0,0207 |
0,0287 |
13 |
2,6208 |
-2,304 |
2,2215 |
0,0194 |
0,0196 |
0,0141 |
0,0196 |
14 |
2,634 |
-2,318 |
2,2312 |
0,0132 |
0,0135 |
0,0098 |
0,0135 |
15 |
2,6431 |
-2,327 |
2,2379 |
0,0091 |
0,0093 |
0,0067 |
0,0093 |
Рис. 2.4. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Якоби с помощью программы Excel. |