![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Методические указания
- •Часть 1
- •1. Численное решение нелинейных уравнений.
- •1.1. Метод деления отрезка пополам.
- •1.2. Метод Ньютона (метод касательных).
- •1.3. Метод простой итерации.
- •2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •2.1. Метод Гаусса.
- •2.2. Метод обратной матрицы.
- •2.3. Метод прогонки.
- •2.4. Метод простой итерации (метод Якоби).
- •2.5. Метод Зейделя.
- •3. Численные методы решения систем нелинейных уравнений.
- •3.1. Метод простой итерации (метод Якоби).
- •3.2. Метод Зейделя.
- •3.3. Метод Ньютона.
- •Литература
1.3. Метод простой итерации.
Для использования
этого метода исходное нелинейное
уравнение
необходимо привести к виду
.
В качестве
можно принять функцию
,
где
M ‑ неизвестная
постоянная величина, которая определяется
из условия сходимости метода простой
итерации
.
При этом для определенияM
условие сходимости записывается в
следующем виде:
или
. (1.5)
Если известно
начальное приближение корня
,
подставляя это значение в правую часть
уравнения
,
получаем новое приближение
.
Далее подставляя
каждый раз новое значение корня в
уравнение
,
получаем последовательность значений:
,
,...,
,
k =
1,2,...,n.
Итерационный
процесс прекращается, если результаты
двух последовательных итераций близки,
т.е.
.
Геометрическая
интерпретация метода простой итерации.
Построим
графики функций
и
.
Корнем
уравнения
является абсцисса пересечения кривой
с прямой
(рис. 1.11). Взяв в качестве начальной
точки
,
строим ломаную линию. Абсциссы вершин
этой ломаной представляют собой
последовательные приближения корня
.
Из рисунка видно, что если
на отрезке
(рис. 1.9а),
то последовательные приближения
колеблются около корня. Если же производная
(рис. 1.9б), то последовательные
приближения сходятся монотонно.
|
|
а) |
б) |
Рис. 1.9. Геометрическая интерпретация метода простой итерации. |
Пример 1.4.
Решить уравнение
на отрезке
методом простой итерации c точностью
.
Решение.
Из условия сходимости (1.5)
,
при
определяем
.
Пусть
.
Подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение
,
получаем последовательность значений:
,
но
,
поэтому продолжаем вычисления.
Теперь
и приближенным решением данного уравнения
c точностью
является
.
На рис.1.10 приведена программа решения данного уравнения методом простой итерации. В качестве исходных данных вводятся начальное приближение, точность вычисления и значение постоянной М.
CLS DEF FNF(X)= X^3+X-1 INPUT X, E, M 1 X = X - FNF(X)/M PRINT X, FNF(X) IF ABS(FNF(X)/M)>E THEN 1 END |
Рис. 1.10. Программа решения уравнения методом простой итерации на языке QUICK BASIC.
|
Пример 1.4.
Решить уравнение
на отрезке
методом простой итерации c точностью
с помощью программы
Excel.
|
A |
B |
C |
D |
1 |
x |
f(x) |
M |
погрешность |
2 |
1 |
|
5 |
|
3 |
0,8 |
1 |
|
0,2 |
4 |
0,7376 |
0,312 |
|
0,0624 |
5 |
0,70982 |
0,13889 |
|
0,02777881 |
6 |
0,69633 |
0,06746 |
|
0,01349237 |
7 |
0,68954 |
0,03396 |
|
0,00679209 |
8 |
0,68606 |
0,01738 |
|
0,0034769 |
9 |
0,68427 |
0,00897 |
|
0,00179463 |
Рис.1.11. Решение уравнения методом простой итерации с помощью программы Excel. |
Порядок решения (рис. 1.11).
Ввести в ячейки A1:D1 заголовки столбцов.
В ячейку A2 – значение начального приближения
В ячейку B3 – формулу функции =A2^3+A2-1
В ячейку C2 – значение M 5
В ячейку A3 – формулу первого приближения =A2-B3/$C$2
В ячейку D3 – погрешность =ABS(A3-A2)
Выделить ячейки A3:D3 и скопировать формулы в соседние ячейки расположенных ниже строк A4:D4, A5:D5, и т.д. при помощи маркера заполнения. Каждая новая строка содержит результаты очередного приближения.
В столбце A найти значение корня, соответствующее заданной точности.
Приближенное
решение данного уравнения
содержится в ячейкеA9
(погрешность
в ячейкеD9).