Экзаменационные билеты

ВОПРОСЫ ПО КУРСУ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Понятие функции комплексного переменного. Непрерывность. Дифференцируемость. Условия Коши - Римана. Понятие аналитической функции. Приме-

ры.

Интеграл по кривой на комплексной плоскости. Его свойства. Теорема Коши. Неопределенный интеграл.

Интегральная формула Коши. Формула среднего значения. Принцип максимального значения модуля аналитической функции. Интеграл типа Коши и

возможность его дифференцирования под знаком интеграла. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Теорема Морера. Теорема Лиувилля.

Функциональный ряд. Равномерная сходимость. Почленное интегрирование равномерно сходящегося ряда. Теорема Вейерштрасса о рядах аналитических

функций.

Степенной ряд. Круг сходимости. Формула для радиуса сходимости. Ряд Тейлора. Теорема о представлении аналитической функции рядом Тейлора.

Единственность аналитической функции. Понятие аналитического продолжения. Примеры. Распространение на комплексную плоскость соотношений, справедливых на действительной оси. Понятие многолистной и многозначной

функции. Риманова поверхность.

Понятие особой точки. Теорема о наличии особой точки на границе круга

сходимости. Ряд Лорана. Изолированные особые точки, их классификация. Теорема Сохоцкого - Вейерштрасса о существенно особой точке.

Понятие вычета. Основная теорема теории вычетов. Применение теории

вычетов к вычислению определенных интегралов. Лемма Жордно. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше.

Геометрический смысл производной от функции комплексного переменно-

го. Понятие конформного отображения. Основные принципы конформного отображения. Примеры. Дробно-линейная функция и ее свойства. Функция Жуковского.

Преобразования Лапласа и его свойства. Формула обращения преобразования Лапласа (формула Меллина). Применение обращения преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений.Метод перевала.