I семестр / Математический Анализ - ответы - 11-20 билеты / вопрос 19

19 Первообразная и неопределенный интеграл.

К понятию первообразной приводит следующая физическая задача: пусть точка движется прямолинейно, и в каждый момент времени известна скорость v(t). Найти путь s(t). Задача сводится к отысканию такой функции s(t), производная которой равна известной функции v(t), то есть возникает задача, обратная дифференцированию. Пусть y=f(t) определена на промежутке X.

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на X, если  xX: F'(x) = f(x).

Примеры.

1. s(t) - первообразная для v(t).

2. F(x)=ln x - первообразная для функции f(x)= на (0, +). F(x)=ln(-x) - первообразная для функции f(x)= на (-,0).

F(x)=lnx- первообразная для функции f(x)= на (-,0) и (0, +).

3. f(x) =x=.

F(x) =.

Самостоятельно докажите, что F '(0) существует и равна 0.

4. f(x) =sgn x = .

F(x) = x - первообразная для f(x)=sgn x при x > 0.

F(x) = -x - первообразная для f(x)=sgn x при x < 0.

(рисунок)

f(x)=sgn x не имеет первообразной на всей числовой прямой.

//Замечание. Отметим, что если F(x) - первообразная для f(x) на X, то есть  xX: F'(x) = f(x), то F(x)+C (C = const) - также первообразная для f(x) на X, так как  xX: (F(x)+C)'=F'(x)+C'=f(x).

Верно и обратное:

Теорема 5.1 (основная теорема интегрального исчисления). Если F₁(x) и F₂(x) - любые первообразные для f(x) на X, то F₁(x)-F₂(x)=const на X.

Доказательство.

Введем обозначение: F(x) = F₁(x)-F₂(x). Требуется доказать, что F(x) = const на X.

 xX: F'(x) =-= 0.

Таким образом, нужно доказать: если F'(x) = 0  xX, то F(x)=const на X. Этот факт будет доказан позже, и тогда эта теорема будет доказана.

Следствие. Если F(x) - какая-то первообразная для f(x) на X, то любую другую первообразную (x) можно представить в виде: (x)= F(x)+C, где C - некоторая постоянная.

Определение: Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от этой функции на промежутке X и обозначается . f(x) называется подынтегральной функцией. f(x)dx называется подынтегральным выражением. Отметим, что подынтегральное выражение является дифференциалом любой первообразной функции f(x). В самом деле:

dF(x)=F'(x)dx= f(x)dx. (1)

В силу следствия из теоремы 5.1 справедлива формула:

= F(x)+C, (2)

где F(x) - одна из первообразных для f(x), C - произвольная постоянная.

Пример.

=sinx + C.

Поставим вопрос: какие функции имеют первообразную? Позднее будет доказано, что любая непрерывная на промежутке X функция f(x) имеет первообразную на этом промежутке.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. = f(x)dx.

2. = F(x)+C.

Свойства 1 и 2 следуют из равенств (1) и (2) параграфа 1.

3. = .

Доказательство.

Пусть F(x) - первообразная для f(x), а G(x) - первообразная для g(x). Тогда F'(x) = f(x), G'(x) = g(x), и также = F(x)+C₁, = G(x)+C₂. Сладывая и вычитая два последние равенства, получим:

= [F(x)G(x)] +(С₁С₂). (1)

С другой стороны, [F(x)G(x)]' = F'(x)  G'(x) = f(x)  g(x).

Поэтому = [F(x)G(x)] +С. (2)

Правые части в этих равенствах равны с точностью до определенной постоянной, следовательно, равны и левые части.

=>= .

4. Если k - число, то =k.

Доказать самостоятельно.

Таблица основных неопределенных интегралов.

1. =+C (-1).

2. =lnx+C (x0).

3. =sinx + C.

4.=cosx + C.