I семестр / Математический Анализ - ответы - 11-20 билеты / вопрос 15

15 Производная сложной функции.

Рассмотрим сложную функцию: y = f(t), где t = (x), то есть y = f((x))  F(x).

Теорема 4.4. Пусть функция t = (x) дифференцируема в точке х₀, а функция y = f(t) дифференцируема в точке t₀, где t₀ = (х₀). Тогда сложная функция F(x) = f((x)) дифференцируема в точке х₀, и имеет место формула F'(х₀) = f'(t₀)'(х₀) = f'((х₀))'(х₀).

Доказательство:

Нужно доказать, что приращение функции y = F(x) = f((x)) в точке х₀ можно представить в виде: y = f'(t₀)'(х₀)x + (x)x, (1), где (x)  0 при x  0. (0) = 0. Зададим в точке х₀ приращение аргумента х, равное x. Тогда функция t = (x) получит приращение t = ( х₀ + х) - (х₀). Так как t = (x) дифференцируема в точке х₀ +, то t можно представить в виде : t = '(х₀)x + (x)x. (2), где (x)  0 при x  0. (0) = 0. Приращению t соответствует приращение y = f(t₀+t) + f'(t₀), функции y = f(t). Так как y = f(t) дифференцируема в точке t₀, то y можно представить в виде:

y = f'(t₀) t + (t)t. (2), где (t)  0 при t  0. (0) = 0. (3)

Подставляя (2) в (3), получим:

y = f'( t₀ )('(х₀)x + [f'(t₀)(x) + '(х₀) + (x)]x, где [f'(t₀)(x) + '(х₀) + (x)]  (x).

Очевидно, что (x)  0 при х  0, х  0.

Тем самым доказано равенство (1), и, значит, 4.4 доказана.

Примеры:

1. y = x^ ( - любое вещественное число, x > 0). x^ = e^{ln x} = e^ , где t =  ln x ( ln x  (x))

По теореме 4.4 получаем:

(x^)' =(e^)'( ln x)'= (e^) = x^-1. (e^=х^), = х). (x^)' = x^-1.

В частности, если  =,()'=x^-1/2=.Если  = -1, то = -1x^-2 = -.

Из правил и формул дифференцирования следует, что производная любой элементарной функции снова есть элементарная функция. Иными словами, класс элементарных функций замкнут относительно операции дифференцирования.

2. y = arccos (arctg e^x )

y' = (-sin (arctg e^x)) e^x = -tg(arctg e^x)=-.

3. y =[u(x)]^v(x). y =e^vlnu. y = u(x^v)' = e^vlnu.(v ln u)' = u^v(v'ln u + vu') = u^vln u v' + vu^v-1u'

(u^v)' = (u^v)'+ (u^v)'

Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть y = f(x), где х - независимая переменная. Тогда оп определению dy = f'(x)dx (1) Где dx = x. dy называется также первым дифференциалом функции. Покажем, что формула (1) сохраняется и в том случае, когда х является не независимой переменной, а дифференцируемой функцией x = (x), t - независимая переменная. y = f((t))  F(t), dy = F'(t)dt. Воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции:

F'(t) = f'((t))'(t).

dy = f'((t))'(t)dt.

Но, так как x = (t), то dx = '(t)dt, dy = f'(x)dx, то есть формула 1 остается в силе и в этом случае. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала. Отметим, что не меняется только форма (вид) первого дифференциала, а содержание меняется. Именно, если х - независимая переменная, то dx = x, если же x = (t), то dy = '(t)dt x.

Из формулы (1) получаем, что f'(x) = , (2) то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциалов функции и аргумента также и в том случае, когда аргумент является не независимой переменной, а дифференцируемой функцией какой-то независимой переменной. В качестве следствия из формулы (2) выведем формулу производной функции, заданной параметрически. Пусть x и y заданы как функции независимой переменной t, которую мы назовём параметром.

x = (t), y = (t) (3)

пусть параметр t также изменяется на некотором промежутке и пусть t = ^-1(x). Таким образом, уравнения (3) задают функцию f(x). Такое задание функции называется параметрическим. Выведем формулу f'(x). По формуле (2): f'(x)=, но dy='(t)dt, dx='(t)dt  f'(x) =.

f'(x) = (4)

Уравнение (3) и формула (4) допускают простую физическую интерпретацию. Пусть t -время, (x, y)- координаты точки. Тогда уравнения (3) задают движение точки на плоскости, при это график y = (x) является траекторией точки.

(рисунок)

= (t)(t)вектор скорости. Докажем, что этот вектор направлен по касательной к траектории. В самом деле, tg  =. = f'(x)  tg = f'(x). А это и означает, что вектор скорости направлен по касательной.

Пример: x = cos t (cos t есть (t)), y = sin t (sin t есть (t)), 0 < t < .. Функция x = cos t имеет обратную: t = arccos x, и эти уравнения задают параметричскую функцию y = f(x). По формуле (4): f'(x) = =(0 < t < ).

1. f'(x) = =.

2. В данном случае f(x) можно найти в явном виде:

y = sin(arccos x) = (есть f(x))

f'(x) =(-2x) = .