I семестр / Математический Анализ - ответы - 11-20 билеты / вопрос 18
.doc18 Производные вектор-функции.
Если каждому числу
t
из некоторого множества T
поставлен в соответствие вектор
,
то говорят, что на множестве T,
определена векторная функция (или вектор
- функция) и пишут:
=
(t),
t
T.
|
(t)
| - скалярная функция.
Определение:
Вектор
называется
пределом вектор-функции
=
(t)
при t
t0
если |
(t)
-
|
0 при t
t0,
(t)
=
.
Зафиксируем какое-нибудь значение t,
а затем дадим приращение t
0 аргументу t.
=
(t
+ t)
-
(t)
Определение:
Если существует
,
то он называется производной вектор-функции
в точке t
и обозначается 
'(t).
Введём тепеть
систему координат 0xyz,
и соответствующий базис {
,
,
},
(t)=x(t)
+y(t)
+z(t)
.
(рисунок)
|
(t)
| =
Утверждение:
Для того, чтобы
(t)
=
={a1,
a2,
a3},
необходимо и достаточно, чтобы:
(t)=
a1,
(t)=
a2,
(t)=
a3.
Утверждение следует из равенства:
|
(t)
-
|
=
,
Из этого утверждения следует, что
'(t)
= x'(t)
+
y'(t)
+z'(t)
={x'(t)
+ y'(t)
+ z'(t)}.
То есть дифференцирование вектор-функции
сводится к дифференцированию её
координат.
Определение:
Множество
концов всех векторов
(t)(t
T),
отложенных от начала координат, называется
годографом вектор-функции
(t).
Физический смысл
годографа: это траектория точки, движение
которой задано уравнением
=
(t),
при этом вектор
'(t)
- скорость движения точки, и можно
доказать, что вектор скорости направлен
по касательной к годографу. Направлен
по касательной к годографу.
1)[
1(t)
+
2(t)]'
=
'1(t)
'2(t).
2)[k(t)
(t)]'
= k'(t)
(t)
+ k(t)
'(t).
3)(
1(t)
2(t))'
= (
'1(t)
2(t))
+ (
1(t)
'2(t)).
4)[
1(t)
2(t)]'
= [
'1(t)
2(t)]
+ [
1(t)
'2(t)].
Формулы 1) - 4) доказываются с помощью записи левой и правой частей равенств в координатах.
9) доказать формулы 1) - 4).
Производные высших порядков векторных функций вводятся по индукции.
''(t)
= (
'(t))',
''(t)
= {x''(t),
y''(t),
z''(t)}.
n:
(
)(n)(t)
=(
(n-1))'
Примеры: Пусть
:
|
|
= a
= const
составляет с осью вращения угол
и вращается вокруг неё с постоянно
угловой скоростью
= const.
|
|
= .
=
(t).
Докажем, что
=[
].
Введём прямоугольную систему координат
0xyz,
в котoрой
ось 0z
совпадает с осью вращения, А точка 0
совпадает с началом вектора
.
(рисунок)
(t)
= {a sincost
+ a sinsint
+ a cos},
=
[0, 0, ].
={bsint,
bcost,
0}.
[
]
=
=
-b
sint
+
bcost
.
Таким образом
=
[
].
Лекция 14.
Отметим, что формула остается в силе, если начало вектора не лежит на оси вращения.
(рисунок)
=
1+
2.
=
-
= [
1]-
[
2]=
[
(
]=[
].
2. Рассмотрим
некоторое тело, например, земной шар,
вращающееся с постоянной скоростью
относительно неподвижной системы
координат с базисом {
0,
0,
0}.
Введем на этом твердом теле свой базис
{
,
,
}.
(рисунок)
Этот базис вращается
вместе с твердым телом, поэтому:
=
[
],
такие же формулы имеют место для
и
.
Рассмотрим точку M,
которая движется на поверхности или
внутри тела. Ее положение характеризуется
радиус-вектором
=
(t).
Вычислим скорость точки относительно
неподвижной системы координат, то есть
найдем
.
(t)=x(t)
+y(t)
+z(t)
;
=
+x(t)
+
+y(t)
+
+z(t)
=
=
+(x(t)[
]+y(t)[
]+z(t)[
])=
=
отн
+ [
]
=
отн
+
;
=
отн+
перен.
абс=
=
+
=
+
+(
[
]+
[
]+
[
])+[
]=
=
отн+[
+
[
отн]
+ [
+
перен]
=
=
отн+
+
.
абс=
отн+
перен+
кор.