I семестр / Математический Анализ - ответы - 11-20 билеты / вопрос 13

13 Дифференциал функции.

Вернёмся к формуле х = f '(x)х + o(x). Приращение дифференцируемой в точке х функции содержит 2 слагаемых: f '(x)x и o(x). Каждое из этих слагаемых - бесконечно малое при x  0. Если f '(x)  0, то f '(x)x имеет тот же порядок малости, что и x, то есть f '(x)x = О(x), а второе слагаемое о(x) - бесконечно малое более высокого порядка, чем x. Дифференциалом функции y = f(x) в точке x назовем линейную функцию от приращения аргумента x: dy = f '(x)x. Если f '(x)  0, то дифференциал является главной частью приращения функции. Если f '(x) = 0, то dy = 0 для любого x. Дифференциалом независимой переменной х назовём приращение этой переменной: dx = x. Таким образом, dy = f '(x)x,(5)

f '(x) = ,(6)

то есть, если х - независимая переменная, то производная функции в точке х равна отношению дифференциала этой функции в точке х к дифференциалу независимой переменной.

Примеры:

d(sin x) = cos x dx,

d sin =dx,

d sin ==.

d sin = 0 для любого dx.

Физический смысл дифференциала.

Пусть х - время, y = f(x) - путь, пройденный точкой за время х, тогда y = f(x + x) - f(x) - путь, пройденный точкой за промежуток [x, x+x]. dy = f '(x)x = v(x)x - расстояние, которое прошла бы точка за промежуток времени [x, x+x], если бы её скорость на этом промежутке была постоянна и равна v(x).

Геометрический смысл дифференциала.

(здесь рисунок)

у = PN - величина направленного отрезка , параллельного оси Оу. То есть, PN = , если  Оу, и PN = -, если  Оу, dy = f '(x)x = tg₀x = PQ - величина направленного отрезка .