I семестр / Математический Анализ - ответы - 11-20 билеты / вопрос 20
.doc20 Два метода интегрирования.
-
Замена переменной.
Теорема 5.2. Пусть функция x=(t) определена и дифференцируема на промежутке T, и пусть промежуток X - множество ее значений. Пусть f(x) определена на X и имеет первообразную F(x).
Тогда F((t)) - первообразная для f((t)'(t) на T.
Доказательство.
t
T
: F((t))'
=
'(t)
= f((t)'(t).
Теорема доказана.
Следствие.
=
F((t))
+ С.
F((t))
+ С
=
=
.
Таким
образом,
=
-- формула
замены переменной в неопределенном
интеграле.
Лекция 15
Примеры:
-
=
[x
=
,dx
=
dt]
=
=
(-
cost
+ C)
=
cos
x
+ C. -
,
(a
> 0)
Подынтегральная функция определена для 0 x a.
x
= asin2t
(asin2t
(t)),
0
t
,
dx
= 2asintcostdt
sint
=
,
t
= arcsin
,
cost
=
.
=
2asintcostdt
= 2a
= 2a
=
=a(t
- 1/2sin2t)
+ C
= a(t
-sintcost)
+ C
= a
arcsin
-
+
C.
-
Интегрирование по частям.
Теорема
5.3. Пусть
u(x)
и v(x)
определены и дифференцируемы на
промежутке X,
и пусть функция u(x)
и v'(x)
имеет первообразную на промежутке Х,
то есть существует
.
Тогда u(x)v'(x)
также имеет первообразную на промежутке
Х,
и спараведлива формула:
=
u(x)v(x)
-
-
формула интегрирования по частям.
Доказательство:
Воспользуемся формулой: (uv)'
= u'v
+ uv'
, vu'
= (uv)'
- uv'.
uv'
имеет порвообразную по условию теоремы.
(uv)'
имеет перовообразную uv.
Следовательно и vu'
имеет первообразную и справедливо
равенство:
= uv
-
.
Теорема доказана.
Следствие: Так как u'dx=du, v'dx=dv, то формулу интегрирования по частям можно записать в виде:
=
uv
-
.
Пример:
=
=[v
=
x2,
dex]
= x2ex
-
= x2ex
- 2
=
x2ex
- 2(xex
-
)
=
= ex (x2 - 2x + 2) + C.
Некоторые
интегралы не выражаются через элементарные
функции, например:
,
то есть, класс элементарных функций не
замкнут относительно операции
интегрирования.
Интегрирование рациональных функций.
называется
рациональной функцией (рациональной
дробью), n,m
- степени многочленов.
Рациональная дробь называется правильной, если n < m. Любую правильную рациональную дробь можно разделить на сумму так называемых простейших дробей.
Пример:
=
=
+
+
=
=
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях подчёркнутых дробей, получаем:
,
из первого и третьего неравенства этой
системы следует, что C
= -1/2, из 2-го и 4-го, что D
= 0.
A
= B
= 1/4.
=
=
=
.
Перейдём к общему случаю.
Рассмотрим
правильную рациональную дробь
.
Пусть Qm(x) раскладывается на произведение следующих множителей:
Qm(x) = (x - a) … (x - b)(x2 + px + q) … (x2 + rx + s).(1)
где a, … , b -вещественные (различные) корни многочлена Qm(x), x2 + px + q , …, x2 + rx + s - квадратные трехчлены с вещественными коэффициентами, имеющие комплексные корни; , …, , , …, -кратности соответствующих корней. Отметим, что + … + + 2( + … + ) = m. Написанное равенство для Qm(x) называется разложением многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых вещественных множителей.
Утверждение: Правильную рациональную дробь, у которой разложение знаменателя имеет вид (1), можно разложить, и притом единственным способом, на сумму простейших дробей следующего вида:
=
+
+
… +
+
… +
+ … +
+
… + +
+
… +
+
… +
+
… +
.
Здесь не будем доказывать.
Таким образом интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей четырёх типов:
-
=
=
Aln|
x
- a
| +C. -
=
[где
>
1] =
=
+C. -
x2
+ px + q
не
имеет
корней,
дискриминант
p2
-
4q
< 0. x2
+ px + q = (x
+ p/2)2+(q
- p2/4)
= [делаем
замену
t=
x + p/2,
a2
= q - p2/4]
= t2
+ a2,где
x
= t - p/2,
a
=
.
=
[x
= t - p/2]
=
=
+
+
(N
- Mp/2)
.
Обзозначим
= I1,
a
= I2.
I1
=
=
ln(
t2
+ a2)
+ C
=
ln(
x2
+ px + q)
+ C.
I2
=
=
=
arctg
+
C
=
arctg
+
C.
-
,
> 1.
p2
-
4q
< 0, x
= t - p/2,
a
=
=
=
+
(N
- Mp/2)
=
=
+(N
- Mp/2)I.
I=
= [применим формулу интегрирования по
частям] =
-
=
=
-
=
+
2
=
=
+
2
,
где
I
=
,
I+1
=
I
=
+
2I
- 2a2I+1.
I+1
=
.
I1
=
=
arctg
+C.
Положим в рекуррентной формуле = 1.
I2
=
+
С.
= 2 I3 и так далее
Если
рациональная дробь
неправильная,
то есть n
m,
то разделив Pn(x)
на Qm(x),
получим:
Pn(x) = Qm(x) Tn-m(x) + Rk(x), (k < m).
=
Tn-m(x)
+
,
где Tn-m(x)
- многочлен,
правильная рациональная дробь.
Общий вывод: любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.
Пример:
=
+
=
=
=
ln|
x
- 1 | +
ln|
x
+ 1 | +
ln|
x2
- 1 | + C
=
ln
.
Лекция 16.
Пример
2. Рассмотрим
.
=
=
+
.
Коэффициенты A и B можно найти методом неопределенных коэффициентов. В данном случае поступим по-другому. Умножим это равенство на x-a.
=A
+
.
x
= a
=>
=
A.
Таким
образом, A
= [1/(x
- a)(x
+ a)]
|x=a
=
.
Этот метод называется методом вычеркивания.
Таким методом можно найти только старшие
коэффициенты.
B
==[1/(x
- a)(x
+ a)]
|x=a
=
.
=
.
=
ln
|x
- a|-
ln|x
+a|
+ C.
=
ln
+
C.
Этот интеграл называется "высоким логарифмом".
Пример
3. Рассмотрим
.
Сделаем замену: t
= x
+
.
t
- x
=
.
t2
- 2tx
+ x2
=
x2
+1. x
=
.
dx
=
dt
=
dt.
=
t
-
x
= t
-
=
.
=
dt
=
=
ln | t
|
+ C
= ln (x
+
)
+ C.
=
ln(x
+
)
+ C.
Этот интеграл называют "длинным логарифмом". Второй способ вычисления этого интеграла:
x
= sh t
=
.
dx
= ch t·dt
=
dt.
=
=
ch t.
=
dt
= t
+ C
= ln(x
+
)
+ C.
Пример
4. Рассмотрим
.
Сделаем замену: t
= tg
(x/2).
x
= 2 arctg
t.
dx
=
dt.
cos x
=
=
.
5cos x
+4 =
.
=
=-2
=-
ln
+C
= -
ln
+
C.