I семестр / Математический Анализ - ответы - 11-20 билеты / вопрос 14

14 Правила дифференцирования.

Теорема 4.2. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х, то их сумма, разность, произведение, частное(при условии v(x)  0) также дифференцируемы в точке х, и справедливы равенства:

1. [u(x)  v(x)]' = u'(x)  v'(x).

2. [u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

3. = (v(x)  0)

Доказательство:

Докажем, например формулу 2). Обозначим у = u(x)v(x). Тогда у = u(x+х)v(x+х) - u(x)v(x) = [u(x + х) - u(x)]v(x+ х) + u(x)[v(x + х) - v(x)] = uv(x + х) + u(x) v.

Поэтому = v(x +х) + u(x) Отсюда получаем:

    при х  0

u'(x) v(x) u(x) v'(x).

= u'(x)v(x) + u(x)v'(x), то есть y' = (uv)' = u'v + uv'. Формула 2) доказана.

Остальные формулы докажите самостоятельно.

Следствие: Если с = const, то (c(y(x)))' = cy'(x).

Примеры:

1)(tg x)' ====.

Итак, (tg x)' =.

2) (ctg x)' = -- (доказать самостоятельно).

Производная обратной функции.

Теорема 4.3. Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x₀, дифференцируема в точке x₀, причём производная f '(x₀)  0. Тогда в некоторой окрестности точки у₀(где у₀ = f(x₀)) существует обратная функция x = f ^-1(y), эта обратная функция дифференцируема в точке у₀, и f ^-1'(y₀)=.

Доказательство:

(рисунок)

Из условий теоремы следует:  [a, b]: y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на [a, b]. причём a < x₀ < b. Поэтому, согласно теореме 3.5, множеством значений f(x), рассматриваемой на [a, b], является сегмент Y = [f(a), f(b)], на Y существует обратная функция x = f ^-1(y), строго монотонная и непрерывная. При этом y₀  (f(a), f(b)). Зададим приращение y  0 аргументу обратной функции в точке y₀. Обратная функция получит приращение х = f ^-1(y₀ + y) - f ^-1(y₀), причем х  0 в силу строгой монотонности обратной функции. Рассмотрим равенство:

=. (1)

Пусть y  0, тогда х  0 в силу непрерывности обратной функции. Но при х  0 знаменатель в правой части равенства (1) стремится к f '(x₀), причем по условию f '(x₀)  0. Поэтому при y  0 предел правой части равен . Следовательно при y  0 существует предел левой части равенства (1), то есть существует производная обратной функции в точке у₀ и она равна : f ^-1'(y₀)=.

Теорема доказана.

Лекция 12

Примеры:

1. y = sin x, -< x <. sin x  f(x), x = arcsin y. arcsin y  f^-1(y)  x  (-,) выполнены все условия теоремы 4.3

2. (arcsin y)' = ===[где sin² x  y²] =. (arcsin x)' = , -1 < x < 1.

При х  +1 (-1): (arcsin x)'  . В таком случае говорят, что функция имеет в данной точке бесконечную производную. Геометрически это означает, что график имеет в данной точке вертикальную касательную.

(рисунок)

4. (arccos x)' = --докажите сами.

5. y = tg x на -< x <

x = arctg y.  x  (-,) выполнены все условия теоремы 4.3

(arctg y)' = = cos² x ==; (arctg x)' =.

6. (arcctg x)' = -- докажите сами.