I семестр / Математический Анализ - ответы - 11-20 билеты / вопрос 17
.doc17 Дифференциалы высших порядков.
Пусть y = f(x) - дифференцируемая функция, тогда dy = f'(x)dx. Если х - независимая переменная, то dx = x. Если же x = (t) - дифференцируемая функция независимой переменной, то dy = f'(x)dx = f'((t)) '(t)dt. В любом случае dy зависит от независимой переменной (x или t) и дифференциала независимой переменной (dx или dt). При введении дифференциала второго порядка будем рассматривать первый дифференциал как функцию только независимой переменной. Такую же договоренность сохраним и для дифференциалов более высокого порядка. При этом условии дифференциалом второго порядка назовём дифференциал от её первого дифференциала. Обозначение: d2y = d(dy).
Дифференциал n - го порядка вводим как дифференциал от дифференциала n -1 порядка.
dny = d(dn-1y).
1)x - независимая переменная.
d2y = d(dy) = [d(f'(x))]dx = [(f'(x))'dx]dx = f(2)(x)(dx)2.
d3y = d(d2y) = d(f(2)(x)(dx)2)= d(f(2)(x))(dx)2 = f(3)(x)(dx)3.
Далее по индукции
можно доказать: dny
= f(n)(x)(dx)n.
Отсюда получаем: f(n)(x)
=
,
то есть, если х - независимая переменная,
то производная n
- го порядка равна отношению дифференциала
функции n
- го порядка к n
- ой степени дифференциала независимой
переменной.
2) x = (t), где t - независимая переменная.
dy = f'(x)dx = f((t))'(t)dt.
d2y = d(dy) = [d(f'((t))'(t))]dt = [(f'((t))'(t))'dt]dt = [f''((t))'2(t) + f'((t))''(t))](dt)2 =
= f''((t))('(t)dt)2 + f'((t))''(t) (dt)2.
x = (t), dx = '(t)dt, d2x = f''(x) (dt)2 + f'(x)d2x.
Таким образом, форма второго дифференциала не инвариантна. То же самое относится к дифференциалам более высоокого порядка.
d3y = d(d2y) = f(3)(x)(dx)3 + f(2)(x)2dxd2x + f(2)(x)dxd2x + f'(x)d3x =
f(3)(x)(dx)3 + 3f(2)(x) dxd2x + f'(x)d3x.
Пример: у = sin x, где х - независимая переменная.
d20y
= (sin x)20(dx)20
=
sin (x + 20
)dx20
=
sin x dx20
.