I семестр / Математический Анализ - ответы - 11-20 билеты / вопрос 16

16 Производные высших порядков.

Пусть функция y = f(x) имеет призводную f'(x) на некотором промежутке, тогда производная f'(x) сама является функцией, заданной на этом промежутке. Пусть f'(x) имеет производную в некоторой точке х из этого промежутка, тогда эта производная называется второрй производной (производной более высокого порядка) функции y = f(x) в точке х. Обозначение: (f'(x))' = f''(x), y''(x), (x). Производные более высоких порядков вводятся по индукции: третья производная - производная от второй,  n  2 y⁽ⁿ⁾(x) = [y^(n-1)(x)]'. Физический смысл производной второго порядка х -время. y = f(t) - путь пройденный за время x. f'(x) = v(x) – скорость f''(x) = v'(x) = a(x) - ускорение. Геометрический смысл второй производной:

(рисунок)

(рисунок)

(рисунок)

Лекция 13

1)y = x^. y' =  x^. y'' = ( - 1)x^-2.…

y⁽ⁿ⁾ = ( - 1) … ( - n + 1)x^-n.

Отметим, что если  - m -натуральное число, то (y^m)^(m) = m(m - 1) … 1 = m!. (y^m)⁽ⁿ⁾ = 0  n < m.

2) y =a^x. y' = x^ln a, y'' =a^x(ln a)², y⁽ⁿ⁾ = a^x(ln a)ⁿ. В частности, (e^x)⁽ⁿ⁾ = e^x.

3) y = six x, y' = cos x = sin(x +), y'' = cos(x +) = sin(x +2)…

y⁽ⁿ⁾ = (sin x)⁽ⁿ⁾ = sin(x +n)

4) (cos x)⁽ⁿ⁾ = cos(x +n) - докажите сами.

Две формулы, для производных n - го порядка.

1)[u(x)  v(x)]⁽ⁿ⁾ = [(u + v)']' = [u' + v']' = (u')' + (v')' = u⁽²⁾ + v⁽²⁾.

2) uv⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾v + u^(n-1)v' +u^(n-2)v'' + … + u^(n-k)v^(k) + uv⁽ⁿ⁾ = u^(n-k)v^(k),(формула Лейбница), Где =, 0! = 1, v⁽⁰⁾ = v. (u + v)⁽ⁿ⁾ = u^(n-k)v^(k) - бином Ньютона. Как и эта формула, формула Лейбница доказывается по индукции(докажите сами).

Пример: (x² e^3x)⁽¹⁰⁾ = (e^3x)⁽¹⁰⁾x² + (e^3x)⁽⁹⁾2x +(e^3x)⁽⁸⁾2 = e^3x3¹⁰2x² + 10e^3x3⁹2x + 45e^3x3⁸2

= e^3x3⁹(3x² + 20x + 30).