вопрос 3

.doc

Скачиваний:

104

Добавлен:

06.05.2013

Размер:

84.48 Кб

Скачать

☆

3 Понятие функции. Определение предела функции.

Пусть Х - числовое множество. Если каждому х  Х поставлено в соответствие некоторое (единственное) число y, то говорят что на множестве Х определена (задана) функция и пишут

y = f(x), x  X.

Множество X называется областью определения функции, х - аргументом функции или независимой переменной.

Число у, соответствующее данному х, называется частным значением функции в точке х, а множество {y} = Y, называется множеством значений функции.

Пусть X - числовое множество.

Число a (a  X, либо a  X) называется предельной точкой множества X, если в  окрестности точки a содержатся точки (хотя бы одна) из множества X, отличные от а: x  X, x  a.

Пример 1:

X = (a < x < b)

 точка из (a, b) а также точки a и b - предельные точки X.

Все остальные точки не являются предельными точками X.

Пример2:

{n}=1,2,3… . Это множество не имеет предельных точек.

Определение предела функции по Коши. Пусть f(x) определена на Х и пусть a-предельная точка X.

Число b называется пределом f(x) в точке a, если   > 0    0 такое, что

 ч  Чб 0 Б / ч - ф / Б  Ж / а(ч) - и / Б  ю

Число b называется пределом функции f(x) в точке a(при x  a) если   > 0   > 0, такое, что

 x  X, 0 < | x - a | < : | f(x) - b | < .

Обозначение: f(x) = b.

Множесво {0 < | x - a | < } называется проколотой -окрестностью точки a.

Геометрическая интерпретация определения предела функции.

(вставить рисунок)

заметим, что 0 < | x - a | <  

| f(x) - b | <   b -  < f(x) < b + .

С геометрической точки зрения тот факт, что f(x) = b, означает, что для значений аргумента из проколотой -окрестности точки a график функции y = f(x) лежит в полосе между прямыми

y = b -  и y = b + . При этом в самой точке a f(x) может быть не определена, либо её значение в данной точке может выходить за пределы данной полосы.

Замечание 1.

Функция может иметь в данной точке только один предел. В самом деле, допустим, что f(x) имеет в точке a два предельных значения: b и c.

Возьмём  столь малым, чтобы -окрестности точек b и c не пересекались.

Тогда для значений аргумента из проколотой окрестности точки a значения функции должны лежать одновременно в -окрестности b и в -окрестности точки c, чего не может быть так как эти -окрестности не пересекаются.

Функция y = f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если  число

M(m),  x  X: f(x)  M (f(x)  m). При этом число M(m) называют верхней (нижней) гранью функции f(x) на множестве X.

f(x) называется ограниченной на множестве X, если она ограничена на этом множестве и сверху и снизу, то есть  M и m,  x  X: m  f(x)  M. Эквивалентное определение ограниченной функции:

f(x) называется ограниченной на X,если  A >0,  x  X: | f(x) |  A.

Замечание 2.

Если функция f(x) имеет предел в точке a, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки. Утверждение следует непосредственно из определения предела.

Примеры:

1) f(x) = b = const ( x).

f(x) = b ( a).