I семестр / Математический Анализ - ответы - 1-10 билеты / вопрос 2
.doc2 Комплексные числа.Комплексные числа
Алгебраическим уравнением называется уравнение вида: Pn(x) = 0, где Pn(x) - многочлен n - ой степени. Пару вещественных чисел x и у назовём упорядоченной, если указано, какое из них считается первым, а какое - вторым. Обозначение упорядоченной пары: (x, y). Комплексным числом назовём произвольную упорядоченную пару вещественных чисел. z = (x, y)-комплексное число.
x-вещественная часть z, y-мнимая часть z. Если x = 0 и y = 0, то z = 0. Рассмотрим z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2).
Определение 1. z1 = z2, если x1 =x2 и y1 = y2.
Понятия > и < для комплексных чисел не вводятся.
Арифметические операции.
Определение 2.
z1 + z2 = (x1 +x2, y1 + y2).
Определение 3.
z1z2 = (x1x2 – y1y2, x1y2 +x2y1).
Отметим, что сложение и умножение комплексных чисел обладают такими же свойствами, как и сложение и умножение вещественных чисел.
Определение: !-квантор единственности.
Утверждение 1.
z1 и z2 ! z: z2 + z = z1. Число z называется разностью чисел z1 и z2 и выражается формулой: z = z1 – z2 = (x1 – x2, y1 – y2).
Утверждение 2.
z1 и z2 0 ! z: z2z = z1.Число z называется частным от деления z1 на z2 и выражается формулой
=(
,
).
Существование доказывается прямой проверкой.
Заметим, что если z1 =(x1, 0), z2 = (x2, 0), то по формулам сложения, умножения, вычитания и деления получим:
z1 + z2 = (x1 + x2, 0),
z1z2 = (x1x2, 0),
z1 – z2 = (x1 – x2, 0),
z1/z2 = (x1/x2, 0) при x2 0.
Таким образом , арифметические операции над комплексными числами, у которых мнимые части = 0, дают комплексные числа, у которых мнимые части также = 0, при этом действия над такими комплексными числами сводятся к соответствующим действиям над их вещественными частями.
Комплексное число вида (x, 0) задаётся одним вещественным числом x. Обозначим (x, 0) = x. Сказанное выше позволяет отождествить такие комплексные числа с вещественными числами.
Числа вида (0, y), где у 0, называются чисто мнимыми. Особую роль играет мнимое число (0, 1) = i.
i2 = i i = (0, 1) (0, 1) = (-1, 0) = -1.
Итак, во множестве комплексных чисел есть такое число, квадрат которого равен -1. Оно называется мнимой единицей.
z = (x, y): z = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) (y, 0) = x + iy.
После этого можно оперировать с комплексными числами как с обычными многочленами, учитывая что i2 = -1.
Основная теорема алгебры.
многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один корень во множестве комплексных чисел.
Сейчас без доказательства.
Пример.
x2 + 2x + 2 = 0.
Вещественных корней нет.
-1
=-1
i.
Числа z = x + iy и
=
x - iy называют комплексно
сопряженными.
квадратное уравнение с вещественными коэффициентами имеет два корня. Эти корни либо вещественные (они могут быть равными), либо комплексно сопряженные.
многочлен степени n имеет n корней. Если все его коэффициенты вещественные, то среди комплексных корней-только сопряженные пары.
Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел.
M(x, y) z = x + iy.
OM =
= z
=
.(рисунок)
называется модулем комплексного числа z.
называется аргументом комплексного числа z. Он определён с точностью до 2n.
х = cos , y = sin.
z = x + iy = (cos + isin ) - тригонометрическая форма комплексных чисел.
Утверждение 3.
Если
=
(cos
+
i sin
),
=
(cos
+
i sin
),
то
=
(cos(
+
)
+ i
sin(
+
)),
=
(cos(
-
)+
i
sin(
-
))
при
0.
Утверждение 4.
Если z = (cos + i sin ), то натурального n:
=
(cos n
+ i sin n
),
=
(cos
+i
sin
),
где
-
арифметический (неотрицательный) корень
n - й степени из , k = 0,1,…,n - 1.
Пример.
1)
=
=
=
.
2)
=
=
=
.
Показательная форма комплексных чисел.
Введём комплекснозначную функцию вещественного аргумента
f( ) = cos + i sin .
f(
)f(
)
= f(
+
).
Таким же свойством обладает
показательная функция.
Связь между f( ) и показательной функцией выражается формулой Эйлера
=
cos +
i sin
.
Если =
=
-1 (это равенство связывает четыре
замечательных числа: e ,
, 1 и i).
z = (cos
+ i sin ) =
-показательная
форма комплексных чисел.
Доказательство утверждения 4.
=
=
=
(cos
n + i sin n).
Пример:
(t)
+
(t)
= 0.
Общее решение этого уравнения можно
записать в вещественной форме:
x(t)=
sint
+
cos
t, и можно
записать в комплексной форме:
x(t)=
+
.