I семестр / Математический Анализ - ответы - 1-10 билеты / вопрос 5
.doc5 Свойства пределов функций.
Лемма 1:
Если
f(x)
= b, то f(x)
можно представить в виде: f(x)
= b + (x),
где (x)-
бесконечно малая в точке а.
Доказательство: Запишем функцию f(x)
в виде f(x)
= b +
.
Остаётся доказать, что (x) = f(x) - b - бесконечно малая в функция в точке a.
По определению предела функции, > 0 > 0, x {0 < | x - a | < }: | f(x) - b | < .
То есть | (x) | < . Это и означает по определению, что (x) - бесконечно малая функция в
точке а.
Лемма 1 доказана.
Лемма 2 (обратная лемме 1):
Если f(x)
= b + (x),
где b -число,
(x)-бесконечно
малая функция в точке а. то
f(x)
= 0.
Доказать самостоятельно.
Теорема 2.4
Пусть функции f(x)
и g(x)
определены в некоторой проколотой
окрестности точки а и пусть
f(x)
= b,
f(x)
= c.
Тогда:
-
[
f(x)
g(x)]
= b
c. -
f(x)g(x)
= bc. -
Если с 0, то в некоторой проколотой окрестности точки а определена функция
(то
есть g(x)
0) и
=
.
Доказательство.
1.Докажем для суммы.
Согласно лемме 1, f(x) и g(x) можно представить в виде:
f(x) = b + (x),
g(x) = c + (x), где (x) и (x)- бесконечно малые функции в точке а.
f(x) + g(x) = (b + c) + [(x) + (x)].
Отсюда по лемме 2 следует, что
[
f(x)
+ g(x)]
= b + c.
Утверждение 1 для суммы доказано.
Докажем 3.
Пусть для определённости c
> 0. Возьмём =
,
тогда по определению предела функции
> 0,
x
{0 < | x - a
| <
}: | g(x)
- c | <
=
.
, или
<
.
Из пдчеркнутого неравенства следует
что g(x)
>
>
0 в проколотой -
окрестности точки а. Тем самым
определена функция
.
По лемме 1, f(x)
= b + (x),
g(x)
= c + (x),
где (x)
и (x)
-бесконечно малые в точке а. Поэтому
-
=
-
=
(с(x)-
b(x)).
Так как
<
в проколотой -
окрестности точки а и с(x)-
b(x)
бесконечно
малая в точке а, то
-
=
(х) - бесконечно
малая в точке а.
Итак,
=
+
(х), где (х)
бесконечно малая функция в точке а.
Следовательно, по лемме 2,
=
.
Утверждение 3) доказано.
Утверждение 2) доказывается таким же образом.
Теорема доказана.
Теорема 2.4 верна также для пределов функций при х .
Следствие 1.
c
f(x)
= c 
f(x),
где с - число.
Следствие 2.
Пусть
(x)
и
(х)
- многочлены степени n
и m. Функция f(x)
=
называется рациональной функцией.
Утверждение: если
(а)
b,
то
=
.
Доказательство:
Пусть
(x)
имеет вид :
(x)
=
+
+…+
,
где
,…,
-
числа. Ранее было доказано, что
x
= а.
Отсюда в силу теоремы 2.4 следует:
(x)
=
an
+…+
=
(а).
Аналогично,
(х)
=
(а),
и так как
(а)
0, то
=
,
что и требовалось доказать.
Теорема 2.5
Если f(x)
с (
с), и
f(x)
= b, то b
c
( c).
Доказательство:
Рассмотрим случай, когда f(x) c. Допустим, что b < c. Возьмём столь малым, чтобы b + < c. Согласно определению предела функции, в некоторой проколотой окрестности точки a все значения f(x) будут принадлежать (b - , b + ), и, тем самым, будут < c, что противоречит условию f(x) с. Полученное противоречие доказывает, что b c.
Теорема доказана.
Замечание 1:
Теорема 2.5 верна также для предела функции при x .
Замечание 2:
Из неравенства f(x) > с, не следует, что lim f(x) > с, а следует лишь, что lim f(x) с.
Пример:
f(x) =
>
0, x
> 0.
f(x) = 0.
Замечание 3:
Применяя теорему 2.5 к числовым последовательностям, приходим к следующему утверждению:
Если n:
a 
b (то есть
[a, b])
и существует lim
=
c, то a
c
b.
Теорема 2.6 (о двух милиционерах).
Если f(x)
g(x)
h(x),
и
f(x)
=
h(x)
= b, то
g(x)
= b.
Доказательство: зададим произвольное > 0.
По определнию предела функции, >0, x {0 | x - a | < }: | f(x) - b | < , | h(x) - b | < . (1)
Из условия теоремы следует, что f(x) - b g(x) - b h(x) - b, и поэтому, в силу неравенства (1) имеем:
| g(x)
- b | <
x
{0 |
x - a
| < },
а это и означает, что
g(x)
= b.
Теорема доказана.
Теорема о пределе монотонной ограниченной функции.
f(x) называется 1) возрастающей на X, 2) убывающей на X, 3) невозрастающей на X, 4) неубывающей на X,
если 
и
X,
<
:
1) f(
)
< f(
),
2) f(
)
> f(
),
3) f(
)
f(
),
4) f(
)
f(
).
Функции 1) - 4) называются монотонными на X,
функции 1) - 2) называются строго монотонными на X.
Примеры:
1) f(x)
=
-
возрастающая на [0, + ].
2) f(x) =[x]- неубывающая на (-, ).
Пусть f(x)-
ограниченна сверху на X,
то есть
M >0,
x
X: f(x)
M.
Число М называется верхней гранью
функции f(x)
на множестве Х. Наименьшая из верхних
граней ограниченной сверху на X
f(x)
называется её точной верхней гранью и
обозначается
f(x).
Эквивалентное определение:
Число M называется точной верхней гранью f(x) на X, если:
1) x X: f(x) M.
2) 
<
M 
X: f(
)
>
.
[7] Сформулировать аналогичное определение
точной нижней грани функции.
f(x).
Пример:
1)
sin
x = 1,
sin
x = 0.
2)
sin
x = 1,
sin
x = 0.
Различие случаев 1) и 2) в том, что в случае 1) функция принимает значения, равные Sup и Inf, а во втором не принимает.
Теорема 2.7
Пусть f(x)-
монотонная и ограниченная на полупрямой
(а, + ),
тогда существует
f(x).
Доказательство:
Пусть, для определённости f(x)
не убывает и ограничена сверху на (а,
+ ).
Тогда она имеет на (а, + )
точную верхнюю грань. Введём обозначение:
f(x)
= b. Докажем, что
f(x)
= b.
Зададим произвольное
> 0 и рассмотрим число b
- <
b, по определнию точной
верхней грани
А: f(A)
> b - .
Так как f(x)
f(a)
при x
A, то f(x)
> b -
при x
A, или b
- f(x)
<
при x
A, то есть | f(x)
- b | <
при x
A. а это и означает,
что
f(x)
= b.
Теорема доказана.
Следствие:
Монотонная ограниченная последовательность сходится.
Замечание:
Теорема, аналогичная теореме 7, имеет
место для односторонних пределов
функции, например: если f(x)-
монотонная и ограниченная в некоторой
правой полуокрестности точки а, то
существует
f(x).
Пример
Рассмотрим последовательность:
=
.
Докажем, что она монотонная и ограниченная.
Нам понадобится неравенство Бернулли:
1 + nx натурального
n и
x > -1, причём при n
> 1 знак равенства имеет место только
для x = 0 (доказать
самостоятельно по индукции).
Используя неравенство Бернулли, получаем:
=
=
=
=
=
>
=
1. Итак , n:
>1,
то есть
>
.
Следовательно, {
}-возрастающая
последовательность.
Рассмотрим {
}:
=
=
.
Отметим, что
>
.
Составим отношение
,
применим неравенство Бернулли и получим
(аналогично тому, как было получено для
последовательности {
}),
что n:
>
,
то есть {
}-
убывающая последовательность.
Используя три неравенства:
, приходим к цепочке неравенств:
n: 2 =
<
… <
<
<
<
<
… <
=
4.
Следовательно, последовательности {
}
и {
}
- монотонные и ограниченные. Поэтому ,
они сходятся, причём lim
=
lim
(последнее
следует из
=
).
Обозначим этот предел
буквой е: lim
=
=
е (по определению). Можно показать, что
е = 2.71828…