I семестр / Математический Анализ - ответы - 1-10 билеты / вопрос 6
.doc6 Определение непрерывности, точки разрыва функции.
Определение 1:
Пусть f(x)
определена в некоторой окрестности
точки а. f(x)
называется непрерывной в точке а
если
f(x)
= f(а)
Примеры:
f(x)
= sin x
непрерывна в точке х =0 , так как
sin
x = 0, и sin
0 = 0, то есть
sin
x = sin 0.
Рациональная функция f(x)
=
непрерывна
в любой точке а, в которой
(а)
0,
так как было доказано, что
=
(
(а)
0).
Замечаение:
Так как
х
= а, то условие непрерывности функции
можно записать в виде
f(x)
= f(
x).
Таким образом, непрерывность f(x)
в точке а означает, что символы
и f можно менять
местами.
Определение 2.
f(x) называетмя непрерывной в точке а, если > 0 > 0: | f(x) - f(а) | < при | х - а | < .
Пусть f(x) непрерывна в точке а и f(а) > 0. Возьмём = f(a). По определнию 2
> 0: | f(x) - f(a) | < f(а) при | х - а | < , то есть - f(a) < f(x) - f(a) < f(a) в - окрестности точки а.
Из последнего неравенства следует, что f(x) > 0 в - окрестности точки а.
Итак, если f(x) положительна и непрерывна в точке а, то она остается положительной в некоторой окрестности точки а. Это свойство называется устойчивостью знака непрерывной функции.
Пусть f(x)
определена на [a, a
+ ).
Функция f(x)
называется непрерывной в точке а
справа, если
f(x)
= f(а). (то есть f(а
+ 0) = f(а)).
Аналогично определяется непрерывность в точке а слева.
Пример:
f(x) = [x].
(рисунок)
целого n: f(n - 0) = n - 1, f(n + 0) = n, f(n) = n, то есть, f(n + 0) = f(n) f(n - 0).
Следовательно , в целочисленных точках эта функция непрерывна только справа. В остальных точках- и справа и слева.
Теорема 3.1
Если f(x) непрерывна в точке а справа и слева, то она непрерывна в точке а.
Доказательство:
По условию f(а + 0) = f(а) и f(а - 0) = f(а).
Отсюда по теореме 2.1 следует, что
f(x)
= f(а), а это и
означает, что f(x)
непрерывна в точке а.
Теорема доказана.
Точки разрыва функции.
Определение: Предельные точки области определения функции, в которых эта функция не является непрерывной, называются точками её разрыва.
Примеры:
1) f(x) = [x].
x = n (целое)-точка разрыва.
2) D(x)
=
(функция Дирихле).
D(x)
имеет разрыва в каждой точке числовой
прямой, так как
точки а
D(x)
не существует.
3) f(x) = x D(x)
f(x)
непрерывна в точке х = 0, так как
f(x)
= 0 = f(0).
f(x)
разрывна во всех остальных точках, так
как а
0
f(x)
не существует- (докажите самостоятельно).
Классификация точек разрыва.
1)Устранимый разрыв.
Точка а называется точкой устранимого
разрыва функции f(x),
если
f(x),
но
f(x) f(a) , либо в точке а функция f(x) вообще не определена.
Пример:
f(x)
=
.
Будет доказано, что
=
1, но в точке х = 0 функция
не
определена, тем самым х = 0 -точка
устранимого разрыва этой функции.
Если положить f(x)
=
,
то f(x)
станет непрерывной в точке х = 0, то
есть разрыв будет устранён.
2) Разрыв первого рода.
Точка а называется точкой разрыва
первого рода функции f(x),
если 
f(x)
и
f(x),
но
f(x)
f(x).
Пример:
f(x) = [x]
x = n (целое) - точки разрыва первого рода этой функции.
3) Разрыв второго рода.
Точка а называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке не существует хотя бы один из односторонних пределов.
Примеры:
1) f(x)
=
,
х = 0 - точка разрыва второго рода,
так как f(+0) = +,
f(-0) = -.
2) Функция Дирихле D(x)-любая точка является точкой разрыва второго рода.
Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
В частности, f(x) непрерывна на сегменте [a, b] (a < b), если она непрерывна в каждой внутренней точке сегмента, непрерывна в точке а справа и в точке b слева.
Пример:
f(x)
=
непрерывна
на любом сегменте, в точках которого
(х)
не обращается в нуль.
Свойства непрерывных функций.
Теорема 3.2
Если f(x)
и g(x)
непрерывны в точке а, то f(x)
g(x),
f(x)g(x)
и
(при
условии g(а)
0) непрерывны в точке а.
Доказательство:
По условию
f(x)
= f(а),
g(x)
= g(а)
[
f(x)
+ g(x)]
= f(a)
+ g(а). а это и
означает непрерывность суммы функций
в точке а. Точно также доказывается
непрерывность разности, произведения,
частного.
Теорема доказана.
Непрерывность сложной функции.
Пусть аргумент t функции y = f(t) является функцией аргумента x: t = (x). В этом случае говорят, что переменная у является сложной функцией от аргумента х или у является суперпозицией функций f и .
y = f( (x)).
Пример:
y = sin(
)
- сложная функция.
y = sin t,
где t =
.
Теорема 3.3
Если t = (x) непрерывна в точке а (а) = b, и функция f(t) непрерывна в точке b, то сложная функция f( (x)) непрерывна в точке а.
Доказательство:
По определению непрерывности нужно доказать, что > 0 > 0: | f( (x)) - f( (a)) | < при
| x - a | < .
Зададим произвольное > 0.
Так как f(t) непрерывна в точке b, то > 0: | f(t) - f(b) | < при | t - b | < . Отсюда следует, что
| f( (x)) - f( (a)) | < при | (x) - (a) | < . (1)
В свою очередь, так как (x) непрерывна в точке a,
то для указанного > 0: | (x) - (a) | < при | x - a | < .(2)
Из (1) и (2) следует, что | f( (x)) - f( (a)) | < , если | x - a | < , что и требовалось доказать.
Теорема доказана.
Теорема 3.4
Если f(x) непрерывна на [a, b] и f(а) f(b) < 0, то c [a, b]: f(c) = 0.
Доказательство:
Пусть для определённости f(а) < 0, f(b) > 0. Тогда, в силу устойчивости знака непрерывной функции, найдётся правая полуокрестность точки а, в которой f(x) < 0.
(рисунок)
Рассмотрим множество Х таких точек
[a,
b], что f(x)
< 0 на [a,
).
X ={
:
[a,
b], f(x)
< 0 на [a,
)}.
Это множество непустое, ограниченное сверху и, следовательно, имеет точную верхнюю грань:
с sup X. Отметим, что x < c: f(x) < 0. (1)
Докажем, что f(с) = 0.
Допустим, что это не так.
Предположим, что f(с) > 0. Тогда f(x) > 0 в некоторой окрестности точки c, и, следовательно, (рисунок)
x < c: f(x) > 0, что противоречит (1).
Предположим, что f(с) < 0. Тогда f(x) < 0 в некоторой окрестности точки с.
(рисунок)
Следовательно, 
>
c: f(x)
< 0 на [a,
),
а это противоречит тому, что c
= sup X.
Значит, наше предположение неверно, и f(c) = 0.
Теорема доказана.