I семестр / Математический Анализ - ответы - 1-10 билеты / вопрос 4
.doc4 Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Функция f(x)
называется бесконечно малой в точке x
= a (при x
a),
если
f(x)=
0.
Эквивалентное определение:
f(x) называется бесконечно малой в точке a, если
> 0 > 0, x {0 < | x - a | < }: | f(x) | < .
Примеры:
-
f(x)=sin x бесконечно малая в точке x = 0, т.к.
sin
x = 0. -
f(x)=sgn x не является бесконечно малой в точке x = 0, хотя f(0) = 0.
Аналогичным образом определяется бесконечно малая функция при x (+ или -).
Пример.
f(x)
=
-
бесконечно малая при x
.
В частности, последовательность {
}
называется бесконечно малой, если lim
=
0.
Функция f(x) называется бесконечно большой в точке x = a (при x a), если
A > 0 > 0, x {0 < | x - a | < }: | f(x) | > A.
Обозначение:
f(x)
= .
Если при этом функция принимает положительные (отрицательные) значения, то будем писать:
f(x)
= +
(- )
Пример:
f(x)
=
.
Докажем, что
f(x)
= .
Зададим произвольное A >
0 и возьмём
=
,
тогда
x
{0 < | x | <
=
}: | f(x)
| =
=
>
A,
это и означает, по определению, что
f(x)
= .
(рисунок)
=
+ .
=
- .
Задание:
Дать определения, выражаемые следующими символическими формулами:
f(x)
= , +
, - .
f(x)
= , +
, - .
Дома:
Доказать следующие утверждения:
-
Если f(x) - бесконечно большая функция в точке x = a, то в некоторой проколотой окрестности точки a определена функция g(x) =
и
она является бесконечно малой в точке
x = a. -
Если f(x) - бесконечно малая в точке х = a и в некоторой проколотой окрестности точки a f(x) 0, то g(x) =
-
бесконечно большая в точке x
= a. -
Если f(x) = c = const и f(x)- бесконечно малая в точке x = a, то c = 0.
Теорема 2.2
Сумма и разность двух бесконечно малых в точке a функций являются бесконечно малыми в точке а функциями.
Доказательство:
Пусть f(x) и g(x)- бесконечно малые в точке x = a.
Тогда >
0
> 0,
>
0 x
{0 <
| x - a
| < 1}:
| f(x)
| <
,
x
{0 < | x - a
| <
}:
| g(x)
| <
.
Положим
= min (
,
).
Тогда
x
{0 < | x - a
| <
}: | f(x)
g(x)
| |
|
+ |
|
< .
Это и означает по определению, что f(x) g(x) - бесконечно малые в точке x = a.
Теорема доказана.
Следствие.
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых в точке x = a функций также является бесконечно малой в точке x = a функцией.
Доказательство: Для двух слагаемых утверждение доказано в теореме 2.2 Далее воспользуемся
методом математической индукции: пусть для n слагаемых утверждение верно, докажем, что оно верно для n + 1 слагаемых.
Пусть
(x),…,
,
-бесконечно
малые в точке x = a
функции. Положим
g(x)
+
=
h(x)
+
.
Тогда
-
бесконечно малая в точке x
= a по условию, h(x)
- бесконечно малая в точке x
= a в силу индуктивного
предположения
g(x)
=
бесконечно малая в точке x
= a, как сумма двух
бесконечно малых функций
и
h.
Теорема 2.3
Произведение ограниченной функции и функции, бесконечно малой в точке a, является бесконечно малой в точке a функцией.
Доказательство: Пусть f(x) - ограниченная функция, то есть А > 0, x {область определения f(x)}: | f(x) | < A, и пусть g(x) - бесконечно малая в точке a.
Тогда
> 0
>
0: x
{0 <
| x - a
| <
}: | g(x)
| <
.
Следовательно,
x
{0 < | x - a
| <
}: | f(x)g(x)
| =
<
. Это
и означает по определению, что f(x)
g(x)-
бесконечно малая в точке а функция.
Теорема доказана.
Следствие. Произведение конечного числа ограниченных функций, из которых хотя бы одна - бесконечно малая в точке а, является бесконечно малой функцией в точке а.
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Пусть f(x)
и g(x)-
бесконечно малые в точке а, то есть
f(x)
= 0,
g(x)
= 0.
Тогда
называют неопределенностью типа
.
Если
=
0, то говорят что f(x)
является бесконечно малой более высокого
порядка в точке а, чем g(x),
и пишут: f = 0(g)
при х
а.
Примеры:
=0(x)
при x
0,
=0(x)
при x
0.
Эти два неравенства, как и вообще неравенства с символом 0-малое, верны только слева направо, так как символ 0(х) обозначает любую функцию, являющуюся бесконечно малой более высокого порядка, чем х, при x 0.
Если
=
b 0,
то говорят, что f(x)
и g(x)
являются бесконечно малыми одного
порядка в точке а, и пишут: f
= O(g)
и g = O(f)
при x
а.
Пример:
=
O(2
+
),
так как
=
=
0.
Если
=
1, то f(x)
и g(x)
называются эквивалентными бесконечно
малыми в точке а.
Обозначение: f ~ g при x 0.
Пример:
~
+
при
x
0.
Свойства символа "0 малое":
1) 0(g) 0(g) = 0(g).
2)Если f = 0(g), то 0(f) 0(g) = 0(g).
3) fg = 0(f) , fg = 0(g).
4)Если f ~ g, то f - g = 0(f), f - g = 0(g).
5)Если с = const 0, то 0(cg) = 0(g), например,
0(5
)
= 0(
).
Докажем 2):
Для этого нужно доказать, что
=
0.
=
+
=
+
=
+
0,
а это и означает, что 0(f) 0(g) = 0(g),
что и требовалось доказать.
Докажем 4):
Для этого нужно доказать, что
=
0.
=
1 -
0,
при х
а, а это и означает, что f
- g = 0(f),
при х
а.
Пусть f(x)
и g(x)
- бесконечно большие функции при x
а.
Тогда
называют неопределенностью типа
.
Если
=
, то говорят что при
x
а функция f(x)
имеет более высокий порядок роста, чем
g(x).
Пример:
f(x)=
и g (x) =
-
бескончно большие при x
0.
Так как
=
= , то
имеет
более высокий порядок ростоа, чем
при
x
0.
Если
=
b
0, то говорят что f(x)
и g(x)
имеют одинаковый порядок роста при x
а.
Другие типы неопределённостей:
- : например,
-ctgx
при x
0;
0 : например, xctgx при x 0;
:
например,
при x
0;
:
например,
при x
+ 0;
:
например
,при
x
+.